3. Интерполяция многочленом.

   1. Единственность интерполяционного многочленаn-й степени.

Другой вариант интерполирования - искать функцию в виде многочлена степени n:

(X)=P_n(X)=C_nXⁿ+C_n-1X^n-1+..... +C₁ X+C₀

Условия совпадения значений интерполирующей функции в точках Xi с величинами Yi примет вид системы: C₀+C₁X₁ +... +C_nX₁ⁿ=Y₁

C₀+C₁X₂ +... +C_nX₂ⁿ=Y₂

_{………………………………………….}

C₀+C₁X_n +... +C_nX_nⁿ=Y_n

(n+1)-го линейного уравнения с n+1 неизвестным.

Поскольку определитель этой системы является определителем Вандермонда и все числа Xi различны, то он отличен от нуля и, следовательно, искомый многочлен существует и единственен. В данном случае, так же как и в предыдущем, снимаются основные сложности, связанные с проблемой оптимального выбора среди функций, удовлетворяющих условиям интерполяции в узлах, однако остается вопрос о точности приближения.

2. Построение вспомогательных многочленов Лагранжа.

Для того, чтобы записать интерполяционный многочлен в форме Лагранжа, сначала строят вспомогательные многочлены L₀(X), L₁(X),..., Ln(X), каждый из которых является многочленом степени n и удовлетворяет условиям:

, i, j = 0,1,2,..,n.

У каждого из вспомогательных многочленов, тем самым, мы знаем n корней, например, у L₂(X) корнями являются X₀, X₁, X₃ ..., Xn. Kaк известно, многочлен Li(X) по корням можно записать в виде

Li(X)=Ai(X-X₀)...(X-X_i-1)(X-X_i+1)...(X-Xn)= Ai

Чтобы определить величину Ai, остается еще одно условие Li(Xi)=1, откуда:

3. Построение многочлена Лагранжа.

Зная вспомогательные многочлены, легко построить и искомый многочлен в виде их линейной комбинации:

В самом деле, степень Рn(х) не выше n, a подставляя в эту формулу значения Х=Хj, получаем: Рn (Xj)=Уj при j=0,1,2,...,n.

Поскольку ранее мы установили, что многочлен степени n, удовлетворяющий условиям интерполяции в узлах единственен, то построенный многочлен Рn(X) и является искомым. Окончательно, он запишется в виде:

Упражнения: Пользуясь формулой (2.1) выписать интерполяционный многочлен в форме Ньютона для функции, заданной таблицей:

(2.2)	X	1	2	3	(2.3)	X	-1	0	1	2
	y	2	3	6		y	2	2	2	8

Оценка точности формулы (2.1) проводится при предположении, что исходная функция f(x) является (n+1) раз дифференцируемой и мы знаем максимум модуля ее (n+1)-ой производной M_n+1. Как уже отмечалось выше, без дополнительных ограничений на гладкость функции никаких оценок произвести нельзя.

4. Оценка погрешности.

Итак, оценим погрешность формулы (2.1) в какой-нибудь точке Х[a,b], т.е. будем оценивать R(X),где R(x)=f(x)-Pn(x)

Обозначим многочлен степени (n+1) с корнями в узлах интерполирования через w(x):

и введем вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-P_n(x)-b w(x) (2.2)

При этом коэффициент b в формуле (2.2) мы выберем так, чтобы выполнялось условие

F(X)=0, т.е. f(X)-P_n(X)=b w(X) или R(X)=b w(X) (2.3).

Мы можем без ограничений общности считать, что точка Х не совпадает ни с одним из узлов Хi, поскольку в них погрешность равна 0. В этом случае вспомогательная функция обращается в нуль не менее (n+2) раз на отрезке [a,b]: в точке X и в узлах интерполяции, т.к. w(Xi)=0 и f(Xi)= Pn(Xi).

Используем теорему Ролля, которая утверждает, что между любыми двумя нулями дифференцируемой функции найдется нуль производной, видим, что первая производная F'(x) должна обращаться в нуль на отрезке [a,b] не менее (n+1) раз.

Аналогично, вторая производная F''(x) обращается в нуль не менее n-раз на отрезке [a,b] и т.д.

Рассуждая подобным образом, мы установим, что функция F⁽ⁿ⁺¹⁾(x) обязательно обращается в нуль хотя бы один раз на отрезке [a, b].

Пусть F⁽ⁿ⁺¹⁾(d)=0. Дифференцируя формулу (2.2) (n+1) раз, получаем:

F⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)-0-b(n+1)!

откуда легко видеть, что:

f⁽ⁿ⁺¹⁾(d)=b(n+1)!, или b=f⁽ⁿ⁺¹⁾ (d)/(n+1)!

Подставляя полученное выражение в (2.3), видим:

R(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(d)w(x)/(n+1)!,

откуда уже легко произвести нужную оценку

(2.4)

справедливую для всех точек отрезка [a,b].

Упражнения: Пользуясь формулой (2.4) произвести оценку точности интерполяции при Х=1.5 в условиях:

2.4. Упражнения (2.2) и предположения M₃ < 10 на [1,3]

2.5. Упражнения (2.3) и предположения M₄ < 16 на [-1,2]

Преимущество данного метода наглядно проявляется при малом количестве узлов и достаточно гладкой функции. Вычисления на ЭВМ здесь организуются сравнительно просто.

Упражнение 2.6. Составить программу на одном из языков для вычисления значения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа (формула(2.1)).

Упражнение 2.7. Дополнить предыдущую программу таким образом, чтобы в случае, когда известен максимум (n+1)-ой производной исходной функции, вычислялась оценка погрешности.