Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лаба№2 / _metodyi.doc
Скачиваний:
84
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
1.11 Mб
Скачать

55

Оглавление

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5

Постановка задачи и этапы решения. 5

Пример локализации корней. 5

Метод половинного деления 5

Метод хорд и касательных 6

Метод итераций 6

Сведение исходного уравнения к виду, пригодному для применения метода итераций. 7

Суть и обоснование метода итераций. 7

Условие окончания вычислений в методе итераций. 7

Сравнение различных методов. 7

Контрольные вопросы 8

Содержание лабораторной работы 8

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 8

Постановка задачи интерполирования. 8

Линейная интерполяция. 9

Интерполяция многочленом. 9

Единственность интерполяционного многочлена n-й степени. 9

Построение вспомогательных многочленов Лагранжа. 9

Построение многочлена Лагранжа. 10

Оценка погрешности. 10

Сплайн-интерполяции. 11

Контрольные вопросы: 11

Содержание лабораторной работы: 12

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 12

Общая схема 13

МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ. 13

МЕТОД ТРАПЕЦИЙ. 13

МЕТОД СИМПСОНА. 14

Метод двойного счета. 15

Контрольные вопросы: 15

Содержание лабораторной работы 15

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 16

Метод Пикара. 16

метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд, 17

метод Эйлера. 18

Общая схема численных методов. 18

методы Рунге-Кутта 18

Контрольные вопросы. 19

Содержание лабораторной работы. 19

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 20

Постановка задачи и ее качественный анализ. 20

Нахождение наилучшей линейной приближающей функции. 21

Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции. 22

Контрольные вопросы. 23

Содержание лабораторной работы. 23

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 24

Постановка задачи и ее качественное исследование. 24

Метод Гаусса 25

Прямой ход. 25

Формулы прямого хода 26

Обратный ход 26

Формулы обратного хода. 26

Ручные вычисления по методу Гаусса. 26

Регуляризация решения 27

Описание метода Гаусса для вырожденных систем. 28

Применения метода Гаусса. 28

Нахождение определителя матрицы. 28

Нахождение обратной матрицы 28

Нахождение ранга матрицы. 28

Определение совместности системы. 29

Контрольные вопросы 29

Содержание лабораторной работы «Метод Гаусса» 29

Содержание лабораторной работы «Применения метода Гаусса» 29

МЕТОД КВАДРАТНОГО КОРНЯ 29

Условие применимости метода квадратного корня. 29

Матричное описание метода квадратного корня. 30

Нахождение матрицы S («квадратного корня» из А) 30

Нахождение вспомогательного вектора Y. 31

Нахождение вектора решения Х. 31

Пример. 31

Компакт-метод. 32

Контрольные вопросы. 33

Содержание лабораторной работы. 33

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ 33

Условия применимости метода простых итераций. 33

Описание метода простых итераций. 34

Условие окончания вычислений. 35

Приведение исходной системы к нужному виду. 35

Случай диагонального преобладания. 35

Случай, когда матрица А близка к единичной. 35

Контрольные вопросы. 36

Содержание лабораторной работы. 36

Численные методы решения экстремальных задач 36

Численные методы поиска экстремумов функций одной переменной 37

Метод равномерного поиска. 37

Метод поразрядного приближения 38

Метод деления отрезка пополам (или метод дихотомии). 38

Метод квадратичной интерполяции 38

Метод золотого сечения 39

Численные методы поиска экстремумов функций многих переменных 39

Метод координатного спуска 39

Градиентный метод 40

Контрольные вопросы 41

Содержание лабораторной работы «Численные методы решения экстремальных задач 41

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 41

Постановка задачи. Графический метод 41

Пример 1 (транспортная задача) 42

Пример 2 (расчет рациона) 42

Пример 3 (распределение ресурсов) 42

Задача линейного программирования в общем виде: 43

Графический метод решения задачи линейного программирования. 44

Двойственная задача 44

СИМПЛЕКС - МЕТОД 44

Описание симплекс-метода. 45

Алгоритм симплекс-метода: 46

Пример. 46

Содержание лабораторной работы. 47

Элементы математической статистики 47

Генеральная совокупность. Выборка. Статистические ряды 48

Графическое изображение вариационных рядов. Эмпирическое распределение 49

Средние величины и показатели вариации 49

Средняя арифметическая и ее свойства 50

Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение 51

Коэффициент вариации 51

Структурные средние 51

Законы распределения случайных величин 52

Статистические гипотезы 52

Контрольные вопросы 54

Содержание лабораторной работы «Элементы математической статистики» 55

Литература 55

  1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

    1. Постановка задачи и этапы решения.

При решении алгебраических и трансцендентных уравнений, встречающихся на практике, очень редко удается найти точное решение. Поэтому приходится применять различные приближенные способы определения корней. В общей постановке задачи обычно требуют непрерывность функции f(x), корни которой ищутся с заданной точностью. Решение при этом разбивается на два этапа:

1.ЛОКАЛИЗАЦИЯ корней, т.е. выделение непересекающихся отрезков, каждый из которых содержит по одному корню.

2.УТОЧНЕНИЕ корней, т.е. вычисление корня на каждом из отрезков с нужной точностью.

Первая часть задачи обычно решается либо с использованием примерного графика функции, либо с помощью исследования знака функции и, как правило, не включается в стандартный курс вычислительной математики.

      1. Пример локализации корней.

Приведем лишь один ПРИМЕР: определить количество и приближенное расположение корней уравнения sinX - 0.2X=0.

Для решения перепишем уравнение в виде sinX=0.2X. Поскольку значения функции y=sinX лежат между -1 и 1, то корни уравнения могут быть только на отрезке [-5,5]. Ясно, что один из корней - это X=0 . Если же на отрезке [-5,5] нарисовать графики функций y1(X)= sinX и y2(X)=0.2X, то сразу будет видно, что точки их пересечения (а это и есть корни нашего уравнения) расположены на отрезках [-3,-2] и [2,3].

Ответ: исходное уравнение имеет 3 корня: Х1=0, Х2[-3,-2] и Х3[2,3].

Упражнения :определить количество и месторасположение корней уравнений:

1.1 9 – Х2 - eх = 0

1.2 sin 2X – X2+6=0

1.3 1/(1+X2) - 0.1 X4 = 0

1.4 ln(2+X) - 0.4X3= 0

В дальнейшем мы будем считать, что уравнение f(X)=0 задано на отрезке [a,b], на котором расположен ровно один его корень, и исследовать решение второй части задачи - уточнение корней. По-видимому, эта задача является самой простой из всех вычислительных задач, встречающихся на практике. Существуют несколько хороших методов решения данной задачи.

    1. Метод половинного деления

(или метод вилки) хорошо знаком по доказательству теоремы о промежуточном значении в курсе математического анализа. Его суть заключается в построении последовательности вложенных отрезков, содержащих корень. При этом на каждом шаге очередной отрезок делится пополам и в качестве следующего отрезка берется та половина, на которой значения функции в концах имеют разные знаки. Процесс продолжают до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше, чем величина 2. Тогда его середина и будет приближенным значением корня с точностью .

Алгоритм данного метода можно записать так:

1.Ввести данные (a, b, ).

2.Если нужная точность достигнута (| b - a | < 2) то иди к п.6

3.Возьми середину очередного отрезка ( С = ( a + b )/ 2 ).

4.Если значения функции в точках а и С одного знака (f(a)*f(C)>0), то в качестве следующего отрезка возьми правую половину (а=С), иначе левую (b=C).

5.Иди к п.2.

6.Напечатать ответ (( a + b ) / 2 )

Упражнение 1.5 Перевести данный алгоритм на один из языков программирования.

Соседние файлы в папке Лаба№2