Контрольные вопросы.
1. Какова общая постановка задачи нахождения эмпирических формул?
2. Каким образом можно оценивать качество приближения?
3. Каким образом графически можно интерпретировать постановку задачи нахождения эмпирических формул?
4.В чем сходство и различие постановки задачи метода наименьших квадратов и задачи интерполяции?
5. Какие виды приближающих функций обычно применяются?
6. В чем суть метода приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов линейной функцией?
7. Как сводится задача построения различных эмпирических формул к задаче нахождения линейной функции?
Содержание лабораторной работы.
Постановка задачи: По заданной таблице зависимости некоторой величины Y от аргумента X определить коэффициенты линейной функции (или функции другого вида), которая наилучшим образом отражает эту зависимость.
Порядок работы:
1.Ответить на вопросы контролирующей программы.
2.Ввести в ЭВМ и отладить программу для нахождения по заданной табличной зависимости наилучшей линейной приближающей функции. Проверить работу программы на контрольных примерах.
3. Дополнить программу нахождением наилучших приближающих функций всех перечисленных выше видов (за исключением квадратичной). Программа должна выдавать в каждом случае и сообщение о точности приближения. Протестировать программу на контрольных примерах.
3.Исполнить программу для своего варианта и записать ответы.
4.Оформить и сдать работу.
ОТЧЕТ должен содержать
название и цель работы,
постановку задачи,
текст программы для нахождения наилучшей линейной функции,
ответ, а также способ сведения к поиску линейной функции для своего варианта.
Решение систем линейных уравнений
Одной из важнейших прикладных задач численных методов является точное или приближенное решение систем линейных уравнений. Многие математические модели приводят к данной задаче непосредственно, но еще чаще к данной задаче приходят после применения каких-либо методов решения более сложных задач. Отметим лишь один самый важный класс моделей, приводящий к системам линейных уравнений – метод сеток для решения систем уравнений в частных производных. Очень большое количество задач естественных наук (физика, аэро- и гидродинамика, химия, биология) на стадии построения математических моделей происходящих процессов приводят к уравнениям или системам уравнений с частными производными. Для нахождения их приближенных решений применяется метод сеток, в результате которого и получаются системы линейных уравнений. Отличительной особенностью таких систем являются их очень большие размеры (десятки и сотни тысяч уравнений и неизвестных).
Постановка задачи и ее качественное исследование.
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n переменными:
(7.1)
Систему (7.1) можно записать короче в виде одного матричного уравнения AX=B,
где Х -столбец длины n, B -столбец длины m, А -матрица размерами mхn.
TEOРЕМА 1. Если ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной матрицы (А|B), то в этом случае существует решение системы (7.1) и наоборот.
ТЕОРЕМА 2. В случае, когда количество уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель A отличен от 0, существует единственное решение системы(7.1).
m=n и det(А)<>0 => решение (7.1) существует и единственно.
Если n>m, то решений (7.1) обычно бесконечное множество (линейное пространство размерности n-rang(A)). Если m>n, то обычно решений нет.
Упражнение 7.1. Приведите пример несовместной системы, у которой m<n.
Упражнение 7.2. Приведите пример совместной системы, у которой m>n.
Далее мы ограничимся рассмотрением частного случая: m=n и det(А)<>0, т.е. случай, когда решение существует и единственно, хотя метод Гаусса, например, носит универсальный характер.
Методы решения систем линейных уравнений можно разбить на две группы: точные методы и приближенные. К точным (прямым) относятся методы, позволяющие за конечное число шагов получить точное решение системы, (т.е. те методы, погрешность которых равна 0). К итерационным относятся методы, при которых строится рекуррентная последовательность векторов, сходящихся к решению. Обычно они применяются, когда применение точных методов затруднено или невозможно, например когда порядок системы – тысячи переменных.
К прямым методам относятся, кроме метода Гаусса, метод квадратного корня для симметричных матриц (или компакт-метод для произвольных), метод Крамера. Последний метод обычно изучается в теории систем линейных уравнений в виду возможности кратко записать решение системы. Пусть D-определитель квадратной матрицы А системы линейных уравнений: D=det(A)0. Пусть D(i)-определитель матрицы, у которой на i-ом месте находится столбец В, а остальные столбцы совпадают с соответствующими столбцами матрицы А. Тогда координаты вектора решения находятся по формулам: Х(i)=D(i)/D.
Упражнение 7.3. Определите по формулам Крамера решение системы и проверьте его:
