Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лаба№2 / Лаба2-Полиномиальная аппроксимация

.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
150.53 Кб
Скачать

Полиномиальная аппроксимация.

По заданной таблице значений функции составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа.

Построить его график и отметить на нем все узловые точки и по одной промежуточной для каждого интервала между узловыми точками.

Исходные данные

x

y

-0,64

29,51

-0,36

18,86

0,08

12,05

0,2

7,7

0,48

4,92

0,76

3,14

1,04

2,01

1,32

1,28

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел (x0, y0), (x1, y1),…, (xn, yn), где все xj различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xj) = yj.

В простейшем случае (n=1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

li(x) обладают следующими свойствами:

являются многочленами степени n

li(xi) = 1

li(xj) = 0 при j ≠ i

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация li(x), может иметь степень не больше n, и L(xi) = yi.

Формула для вычисления полинома Лагранжа.

Для нахождения интерполяционного многочлена L(x) степени m, принимающего в (m + 1)-й заданной точке xi промежутка [a; b] заданные значения f(xi), i = 0, 1, 2, …, m.

Формула имеет вид:

Легко видеть,  что при подстановке  в  формулу  значения   х = хi все члены суммы, кроме i-го, обращаются в нуль (в числителе дробей, входящих в эти члены, появляются множители, равные нулю), а в  i-м члене числитель становится равным знаменателю и дробь обращается в единицу, так что остается лишь множитель f(xi), т.е. получается, что L(xi) = f(xi).

Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает в заданных точках с заданными значениями неизвестной функции.

Каким образом построить базисные полиномы?

Определим

, i=0, 1,..., N.

Легко понять, что

, и т.д.

Функция li(z) является полиномом N–й степени от z и для нее выполняются условия "базисности":

=0, i≠k;, т.е. k=1,…,i-1 или k=i+1,…,N.

.

Организуем вычисления в табличном процессоре Excel. Заполнение таблицы начинается с того, что вычисляются и заносятся в соответствующие клетки все элементарные разности. Вслед за этим вычисляются произведения Pi разностей по строкам:

P0=(x-x0)(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3);

P1=(x1-x0)(x-x1)(x1-x2)(x1-x3); и т.д.

x

x0

x1

x2

x3

Pi

yi

yi/Pi

x0

x-x0

x0-x1

x0-x2

x0-x3

x1

x1-x0

x-x1

x1-x2

x1-x3

x2

x2-x0

x2-x1

x-x2

x2-x3

x3

x3-x0

x3-x1

x3-x2

x-x3

S=Σ(yi/Pi)

Как мы видим из формулы, обозначение Pi – знаменатель в формуле Лагранжа, т.е.

(i=0, 1, ... n).

С учетом этого обозначения формула Лагранжа имеет вид

Все необходимые значения последовательно получаются в таблице. Сумма S образуется сложением элементов последнего столбца. Для получения окончательного значения Ln(x) достаточно умножить S на произведение Пn+1(х) (произведение диагональных разностей таблицы).

С помощью этой таблицы мы получим значения коэффициентов при вспомогательных многочленах (yi/Pi).

Таблица для расчета коэффициентов при многочленах в формуле Лагранжа, выполнена в Excel

x

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

Pi

Yi

Yi/Pi

x0

0

-0,28

-0,72

-0,84

-1,12

-1,4

-1,68

-1,96

-0,87434

29,51

-33,7511041

x1

0,28

0

-0,44

-0,56

-0,84

-1,12

-1,4

-1,68

0,152663

18,86

123,5402078

x2

0,72

0,44

0

-0,12

-0,4

-0,68

-0,96

-1,24

-0,01231

12,05

-978,9461567

x3

0,84

0,56

0,12

0

-0,28

-0,56

-0,84

-1,12

0,008327

7,7

924,6956167

x4

1,12

0,84

0,4

0,28

0

-0,28

-0,56

-0,84

-0,01388

4,92

-354,5066832

x5

1,4

1,12

0,68

0,56

0,28

0

-0,28

-0,56

0,026215

3,14

119,7795178

x6

1,68

1,4

0,96

0,84

0,56

0,28

0

-0,28

-0,08327

2,01

-24,1381583

x7

1,96

1,68

1,24

1,12

0,84

0,56

0,28

0

0,602324

1,28

2,1251009

S=

-221,2016591

Формулы в таблице:

x

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

Pi

Yi

Yi/Pi

x0

=A16-$A$16

=A16-$A$17

=A16-$A$18

=A16-$A$19

=A16-$A$20

=A16-$A$21

=A16-$A$22

=A16-$A$23

=ПРОИЗВЕД(C4:I4)

29,51

=K4/J4

x1

=A17-$A$16

=A17-$A$17

=A17-$A$18

=A17-$A$19

=A17-$A$20

=A17-$A$21

=A17-$A$22

=A17-$A$23

=ПРОИЗВЕД(B5;D5:I5)

18,86

=K5/J5

x2

=A18-$A$16

=A18-$A$17

=A18-$A$18

=A18-$A$19

=A18-$A$20

=A18-$A$21

=A18-$A$22

=A18-$A$23

=ПРОИЗВЕД(B6:C6;E6:I6)

12,05

=K6/J6

x3

=A19-$A$16

=A19-$A$17

=A19-$A$18

=A19-$A$19

=A19-$A$20

=A19-$A$21

=A19-$A$22

=A19-$A$23

=ПРОИЗВЕД(B7:D7;F7:I7)

7,7

=K7/J7

x4

=A20-$A$16

=A20-$A$17

=A20-$A$18

=A20-$A$19

=A20-$A$20

=A20-$A$21

=A20-$A$22

=A20-$A$23

=ПРОИЗВЕД(B8:E8;G8:I8)

4,92

=K8/J8

x5

=A21-$A$16

=A21-$A$17

=A21-$A$18

=A21-$A$19

=A21-$A$20

=A21-$A$21

=A21-$A$22

=A21-$A$23

=ПРОИЗВЕД(B9:F9;H9:I9)

3,14

=K9/J9

x6

=A22-$A$16

=A22-$A$17

=A22-$A$18

=A22-$A$19

=A22-$A$20

=A22-$A$21

=A22-$A$22

=A22-$A$23

=ПРОИЗВЕД(B10:G10;I10)

2,01

=K10/J10

x7

=A23-$A$16

=A23-$A$17

=A23-$A$18

=A23-$A$19

=A23-$A$20

=A23-$A$21

=A23-$A$22

=A23-$A$23

=ПРОИЗВЕД(B11:H11)

1,28

=K11/J11

S=

=СУММ(L4:L11)

Из таблицы мы имеем значения коэффициентов для вспомогательных многочленов (Yi/Pi)

Для построения всех многочленов используем систему MathCad. Упрощение выражения выполнение с помощью функции expand (разложение).

Умножим вспомогательные многочлены на коэффициенты yi/Pi предварительно.

Интерполяционный многочлен Лагранжа является суммой всех многочленов.

График аппроксимированной функции и проверка значений из таблицы

Соседние файлы в папке Лаба№2