Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лаба№2 / _metodyi.doc
Скачиваний:
84
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
1.11 Mб
Скачать
      1. Суть и обоснование метода итераций.

Суть метода итераций заключается в построении рекуррентной последовательности чисел, сходящейся к решению, по формуле хк+1 = u(xк), к=0,1,2,..., где х0[a,b] -произвольная точка.

Справедливость метода обосновывает следующая ТЕОРЕМА:

Пусть на [a,b] задана функция u(x), удовлетворяющая условиям а) и б), а х0 - произвольная точка отрезка [a,b], причем уравнение x=u(x) имеет корень. Тогда последовательность {Xк}, построенная по формуле хк+1 = u(xк) сходится к решению не медленнее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем q.

Доказательство: Сравним расстояния от точек хк+1 и xк до решения (обозначим его С), используя теорему Лагранжа:

| хк+1-С| = |u(xк)- u(C)| = | (хк-с) u'(у)|<= |(хк-с)|* max | u'(x) | = q |(хк-с)|,

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Требование существования корня приведено в теореме лишь для простоты доказательства.

Замечание 2. Теорема является одним из частных случаев применения принципа сжимающих отображений, который часто применяется в самых разных вопросах многих точных наук.

      1. Условие окончания вычислений в методе итераций.

Замечание 3. Процесс построения последовательности следует обрывать, когда станет верным неравенство |хк+1к|< *(1-q)/q. В этом случае хк+1 и дает приближение к решению с требуемой точностью.

Упражнение 1.12. Доказать, что в условиях теоремы из неравенства |хк+1к|< *(1-q)/q вытекает неравенство |хк+1-с|< .

Упражнение 1.13.Составить алгоритм и программу на одном из языков для решения уравнений методом итераций.

    1. Сравнение различных методов.

Сравнение методов обычно производится по следующим критериям:

1.Универсальность.

2.Простота организации вычислений и контроля за точностью.

3.Скорость сходимости.

Если сравнить три приведенных выше метода, то следует отметить, что

1) Самым универсальным является метод половинного деления, поскольку он применим для любой непрерывной функции. Однако и в двух других методах ограничения не слишком жесткие и, обычно, на практике можно применять любой метод.

2) Все три метода примерно одинаковы и очень просты.

3) Скорость сходимости в методе половинного деления -геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2 , в методе итерации -со знаменателем q, а метод Ньютона, как правило, дает сходимость со скоростью, превышающей скорость сходимости любой геометрической прогрессии. Во всех случаях скорость сходимости очень высока.

    1. Контрольные вопросы

3.Каковы условия применимости методов Ньютона и итераций?

4.В чем суть методов половинного деления, Ньютона и итераций?

5. Из какого конца следует проводить касательную в методе Ньютона?

6.Какие существуют способы приведения уравнения к виду, пригодному для применения метода итераций?

7.Какой метод приближенного решения уравнений отличается от двух других в смысле слежения за точностью решения?

8.Какой метод обычно дает самую быструю сходимость?

9.Какой метод выгоднее применять - метод половинного деления или метод итераций, если максимум модуля производной функции u(x) на отрезке [a,b] равен 0.7? А если 0.4?

Соседние файлы в папке Лаба№2