Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лаба№2 / _metodyi.doc
Скачиваний:
84
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
1.11 Mб
Скачать
  1. Метод Гаусса

(метод последовательного исключения переменных)

Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. aij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.

    1. Прямой ход.

Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса. Его суть состоит в приведении исходной расширенной матрицы системы к верхнетреугольной матрице с помощью эквивалентных преобразований (добавление к строке любой линейной комбинации других строк и перестановка строк, т.е. уравнений). Формулы прямого хода соответствуют последовательному выражению переменных из уравнений и подстановке их в последующие уравнения, т.е. их фактическому исключению из последующих уравнений системы. При этом шагом считается исключение одной переменной из всех последующих уравнений системы.

Рассмотрим k-ый шаг прямого хода. На k-ом шаге матрица системы имеет вид:

11 а12 … а1k … a1n | b1)

(0 a22 … a2k … a2n | b2)

(0 … … … … … )

(0 0 … akk … akn | bk)

(0 … … … … … )

(0 0 … ank … ann | bn)

Осталось n-k+1 неизвестных. Чтобы удалить х(k) из последней строчки, например, надо из нее вычесть k-ую строчку с таким коэффициентом, чтобы получить на месте аnk ноль. Для этого коэффициент должен быть равен cnk=ank/akk. Элемент аkk называется разрешающим элементом k-ого шага и должен быть отличен от 0.

      1. Формулы прямого хода

cmk=amk/akk где 1<=k<n

bm=bm-cmkbk, k<m<=n

aml=aml-cmkakl, k<=l<=n

    1. Обратный ход

Последовательное вычисление значения неизвестных xn, xn-1,..., х1 (именно в таком порядке) для полученной после прямого хода верхнетреугольной системы называется обратным ходом.

      1. Формулы обратного хода.

,откуда получаем:

для k=n,n-1,…,1.

    1. Ручные вычисления по методу Гаусса.

В процессе ручных вычислений по методу Гаусса заполняется таблица, которая состоит из нескольких разделов, соответствующих определенным этапам вычислений. В ней вводится столбец s- сумма всех коэффициентов в строке, столбец - контрольный столбец (на нулевом шаге он заполняется из столбца s, а затем преобразуется вместе со строками по той же формуле, причем, сравнивая его со столбцом s, мы проверяем правильность вычислений, поскольку данные столбцы должны совпадать). На каждом следующем шаге прямого хода в таблице уменьшается как количество уравнений (т.к. на k-м шаге мы меняем только последние n-k уравнений), так и количество неизвестных. При этом один из пустых столбцов таблицы (там должны были бы стоять только нули) мы используем для записи коэффициентов cmk, на которые домножаем k–ю строку перед вычитанием из m–й.

Пример. Решить систему:

Таблица при ручных вычислениях имеет вид:

___________________________________________

N шага | Матрица А | Св.член |  | s

_______ _|_____________|________|____|________

| 3 -1 0 | 1 | 3 | 3

0 | -2 1 1 | 0 | 0 | 0

| 2 -1 4 | 0 | 5 | 5

________|_ ___________|________|_ ___|_______

|-2/3 1/3 1 | 2/3 | 2 | 2

1 | 2/3 -1/3 4 | -2/3 | 3 | 3

______ __|_____________|________|_____|_______

2 | -1 5 | 0 | 5 | 5

________|_____________|_________|____|_______

| х3 = 0 |

| х2 = 2 |

| х1 = 1 |

Соседние файлы в папке Лаба№2