7. Метод Гаусса

(метод последовательного исключения переменных)

Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. a_ij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.

1. Прямой ход.

Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса. Его суть состоит в приведении исходной расширенной матрицы системы к верхнетреугольной матрице с помощью эквивалентных преобразований (добавление к строке любой линейной комбинации других строк и перестановка строк, т.е. уравнений). Формулы прямого хода соответствуют последовательному выражению переменных из уравнений и подстановке их в последующие уравнения, т.е. их фактическому исключению из последующих уравнений системы. При этом шагом считается исключение одной переменной из всех последующих уравнений системы.

Рассмотрим k-ый шаг прямого хода. На k-ом шаге матрица системы имеет вид:

(а₁₁ а₁₂ … а_1k … a_1n | b₁)

(0 a₂₂ … a_2k … a_2n | b₂)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_kk … a_kn | b_k)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_nk … a_nn | b_n)

Осталось n-k+1 неизвестных. Чтобы удалить х(k) из последней строчки, например, надо из нее вычесть k-ую строчку с таким коэффициентом, чтобы получить на месте а_nk ноль. Для этого коэффициент должен быть равен c_nk=a_nk/a_kk. Элемент а_kk называется разрешающим элементом k-ого шага и должен быть отличен от 0.

1. Формулы прямого хода

c_mk=a_mk/a_kk где 1<=k<n

b_m=b_m-c_mkb_k, k<m<=n

a_ml=a_ml-c_mka_kl, k<=l<=n

2. Обратный ход

Последовательное вычисление значения неизвестных x_n, x_n-1,..., х₁ (именно в таком порядке) для полученной после прямого хода верхнетреугольной системы называется обратным ходом.

1. Формулы обратного хода.

,откуда получаем:

для k=n,n-1,…,1.

3. Ручные вычисления по методу Гаусса.

В процессе ручных вычислений по методу Гаусса заполняется таблица, которая состоит из нескольких разделов, соответствующих определенным этапам вычислений. В ней вводится столбец s- сумма всех коэффициентов в строке, столбец - контрольный столбец (на нулевом шаге он заполняется из столбца s, а затем преобразуется вместе со строками по той же формуле, причем, сравнивая его со столбцом s, мы проверяем правильность вычислений, поскольку данные столбцы должны совпадать). На каждом следующем шаге прямого хода в таблице уменьшается как количество уравнений (т.к. на k-м шаге мы меняем только последние n-k уравнений), так и количество неизвестных. При этом один из пустых столбцов таблицы (там должны были бы стоять только нули) мы используем для записи коэффициентов c_mk, на которые домножаем k–ю строку перед вычитанием из m–й.

Пример. Решить систему:

Таблица при ручных вычислениях имеет вид:

___________________________________________

N шага | Матрица А | Св.член |  | s

_______ _|_____________|________|____|________

| 3 -1 0 | 1 | 3 | 3

0 | -2 1 1 | 0 | 0 | 0

| 2 -1 4 | 0 | 5 | 5

________|_ ___________|________|_ ___|_______

|-2/3 1/3 1 | 2/3 | 2 | 2

1 | 2/3 -1/3 4 | -2/3 | 3 | 3

______ __|_____________|________|_____|_______

2 | -1 5 | 0 | 5 | 5

________|_____________|_________|____|_______

| х3 = 0 |

| х2 = 2 |

| х1 = 1 |