5. Описание метода Гаусса для вырожденных систем.

Хочется еще раз подчеркнуть, что метод Гаусса приспособлен и для решения вырожденных систем. Отличия при этом невелики. Приведение системы происходит описанным выше методом, но не обязательно к верхнетреугольному виду, а к более общему -ступенчатому. Если на каком-то шаге прямого хода встречается ситуация, когда в столбце не только разрешающий элемент, но и все элементы ниже него равны нулю (переменная как-бы исключилась сама по себе), то мы просто начинаем из этого же уравнения исключать сразу следующую переменную, т.е. переходим к следующему столбцу, не переходя к следующей строке. После окончания прямого хода возможны два варианта:

• либо мы видим, что полученная система несовместна, когда в одной из последних ненулевых строк все коэффициенты левой части равны 0, а свободный член – нет

• либо система имеет бесконечное множество решений, которые можно получать следующим общим способом – задать произвольные значения всем «свободным» переменным, которые были пропущены в процессе исключения, т.е. «исключились сами по себе» и вычислить значения всех остальных переменных по формулам обратного хода.

6. Применения метода Гаусса.

Метод Гаусса является одним из эффективных методов решения различных задач линейной алгебры.

1. Нахождение определителя матрицы.

Исходную матрицу приводят к верхнетреугольному виду методом Гаусса, следя при перестановке строк за сменой знака определителя. После приведения определитель будет равен произведению элементов главной диагонали.

2. Нахождение обратной матрицы

Пусть А' - обратная матрица, т.е. А*А'=Е. Для того, чтобы найти обратную матрицу, каждый столбец матрицы А' обозначим как неизвестный вектор Х(1),Х(2),….Тогда для решения матричного уравнения А(Х(1)Х(2)...)=Е можно N раз решить систему линейных уравнений методом Гаусса с неизвестным вектором Х(i) и правым столбцом – одним из столбцов единичной матрицы.

Второй метод нахождения обратной матрицы: выпишем матрицу (А|Е), в которой n строчек и 2n столбцов. Проделав прямой ход, получим (\ # # | )

(0 \ # | A`)

(0 0 \ | ),

где А` - промежуточная матрица (\ # #)

Обратный ход заключается в том, что матрицу (0 \ #) приводят

к единичной (0 0 \)

В результате получим матрицу ( Е|А').

3. Нахождение ранга матрицы.

При решении задачи нахождения ранга матрицы одним из самых эффективных методов также является применение общего метода Гаусса. Матрицу приводят описанным выше способом к ступенчатому виду, а затем просто подсчитывают количество ненулевых строк.

4. Определение совместности системы.

Поскольку совместность системы означает совпадение рангов матрицы А исходной системы и расширенной матрицы (А|B), то проще всего поступить аналогично предыдущему пункту. Берем расширенную матрицу и приводим к ступенчатому виду. Если есть строки с нулевой левой частью и ненулевым свободным членом, то система несовместна, если нет – совместна.

1. Контрольные вопросы

1. Какова общая постановка задачи решения систем линейных уравнений?

2. Какие виды рангов определяются для матриц? Почему они равны? Что такое ранг матрицы?

3. Сформулируйте условие существования решения и условие единственности решения.

4. Что такое эквивалентное преобразование системы? Какие они бывают?

5. Почему при добавлении к строке линейной комбинации других строк решение не меняется?

6. Докажите, что при ручных вычислениях контрольный столбец должен совпадать со столбцом s

7. С чем связана необходимость переставлять местами уравнения системы при решении?

8. Как устроено множество решений общей системы линейных уравнений?

9. Как определить базис пространства решений системы, зная номера свободных переменных?

10. Перечислите применения метода Гаусса при решении задач линейной флгебры.