4. Сплайн-интерполяции.

Помимо описанных методов, существуют и широко распространены на практике приближения функций с помощью СПЛАЙНОВ.

Обычно они применяются когда количество узлов n велико и применять формулу (2.1) невыгодно, а линейная интерполяция не дает желаемых результатов (например при решении задачи численного дифференцирования в узлах). В этом случае выбирают небольшое число К и на каждом отрезке [ X_i,X_i+1] строят свой многочлен степени К, следя за тем, чтобы в узлах Хi разные многочлены "сшивались" гладким образом, например так, чтобы совпадали не только их значения, но и значения их первой, второй, (к-1)-ой производной. Получившаяся при этом функция является, как говорят, кусочно-полиномиальной и называется сплайном.

1. Контрольные вопросы:

1. Как ставится задача интерполяции?

2. Какие виды интерполяции вы знаете?

3. В чем суть и геометрический смысл линейной интерполяции?

4. Какова схема построения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа?

5. Чему равна сумма вспомогательных многочленов Лагранжа?

6. Как выглядит оценка точности при интерполировании многочленом?

7. Что можно сказать об оценке погрешности при решении задачи интерполирования непрерывной функции, если не накладывать на нее никаких дополнительных ограничений?

8. Что такое сплайн-интерполяция и в чем ее суть?

6. Содержание лабораторной работы:

Предварительная работа.

1.Произвести вспомогательные выкладки для оценки погрешности в своем варианте.

2.Подготовить тексты программ линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу с оценкой погрешности.

Работа в лаборатории.

1.Ответить на вопросы контролирующей программы.

2.Ввести в ЭВМ и отладить программу для вычисления ответа при линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу с оценкой погрешности.

Протестировать программу линейной интерполяции для следующих данных:

X	0	1	2	0.5
y	0	1	2	?

Протестировать программу интерполяции по Лагранжу для следующих данных:

X	0	1	2	3	4	5	6	7	2.7
y	3	3	3	3	3	3	3	3	?

Ответы на экране показать преподавателю.

3.Исполнить программу для своего варианта и записать ответы.

4.Вычислить погрешности и записать результаты.

5.Сравнить точное значение погрешности и ее оценку.

6.Оформить и сдать работу.

ОТЧЕТ должен содержать:

1.Название и цель работы, постановку конкретной задачи.

2.Тексты программ линейной интерполяции и интерполяции по Лагранжу с оценкой погрешности.

3.Вывод значения величины максимума модуля (n+1)-ой производной заданной функции.

4.Результаты исполнения программ, получившиеся точные значения погрешностей в обоих методах.

3. Численное интегрирование функций

Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке. Однако, даже в том случае, когда функция задана аналитически, не всегда возможно вычисление точного значения интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Так, нельзя выразить в элементарных функциях первообразные функции sin(x)/x (интегральный синус) или функции e^-x*x, которая играет фундаментальную роль в теории вероятностей. Если же функция задана таблично, то решение аналитическими методами вообще невозможно. Во всех этих случаях (а также и тогда, когда интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, но вычисления первообразных весьма сложны и громоздки) на помощь приходят численные методы интегрирования, которые позволяют вычислить ответ с нужной точностью простыми методами, почти не зависящими от способа задания функции.

Формулы, по которым происходят эти вычисления называют обычно формулами численного интегрирования или КВАДРАТУРНЫМИ формулами. Они, в общем случае имеют вид:

(3.1)

где точки Xi[a,b] называются узлами квадратурной формулы, а коэффициенты Сi -весами.