11. Линейное программирование

    1. Постановка задачи. Графический метод

Рассмотрим сначала несколько задач, которые привели к развитию целой отрасли математики – линейного программирования. Разумеется, в реальных задачах количество неизвестных и ограничений гораздо больше, но для понимания сути задачи и методов ее решения нам будет достаточно рассмотреть модельные ситуации с небольшим количеством неизвестных.

1. Пример 1 (транспортная задача)

На две товарные станции привезли по 30 комплектов мебели. Мебель необходимо развести по трем магазинам (по 20 комплектов в каждый). Известна стоимость перевозок с каждой станции в каждый магазин:

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3
Станция 1	7	5	8
Станция 2	3	9	6

Требуется составить оптимальный (с наименьшими затратами) план перевозок.

Математическая постановка задачи:

Пусть х1, х2,...,х6- количество комплектов, которые надо перевезти со станций в магазины. Учитывая ограничения, получим для x_i0 систему:

Получили систему из четырех уравнений с шестью неизвестными, у которой бесконечно много решений. Среди них надо выбрать такое, на котором целевая функция: f=7х1 + 3х2 + 5х3 + 9х4 + 8х5 + 6х6 достигает минимума.

2. Пример 2 (расчет рациона)

Имеются две питательные смеси, про которые известно, сколько белков, жиров и углеводов содержит одна единица каждой из них:

	Жиры	Белки	Углеводы	Цена
1-я смесь	22	15	7	7
2-я смесь	16	11	9	6

Каждая корова должна получать не меньше 200 единиц жиров, 130 единиц белков и 75 единиц углеводов. Требуется подешевле накормить коров с учетом этих данных.

Математическая постановка задачи:

Пусть надо дать корове 1-ой смеси х1 единиц, 2-ой смеси- х2 единиц. Тогда

Среди решений данной системы надо выбрать такое, на котором достигается минимум целевой функции f=7x1+6x2.

3. Пример 3 (распределение ресурсов)

Предприятие производит два вида продукции из двух видов сырья, причем известны запасы обоих видов сырья, расход сырья на каждый вид продукции и доход с одной единицы каждой продукции:

	Сырье 1	Сырье 2	Доход
1-я продукция	15	20	70
2-я продукция	15	10	50
Запасы сырья	90	80

Требуется получить максимальную прибыль.

Математическая постановка задачи:

Обозначим через х1 и х2 планируемый выпуск первой и второй продукции. Тогда система ограничений будет иметь вид:

Среди решений данной системы требуется найти такое, на котором достигается максимум целевой функции f=70x1+50x2.

Сходство математической постановки всех трех задач в том, что имеется целевая функция, у которой надо найти максимум или минимум, имеется система ограничений. При этом как ограничения, так и целевая функция являются линейными. Кроме того, во всех задачах есть требование неотрицательности переменных величин x_i. Поскольку методы математического анализа для поиска экстремумов функций нескольких переменных для линейных функций не работают, то была создана теория линейного программирования, ориентированная на данный класс задач.