1. Содержание лабораторной работы.

6. Ответить на вопросы контролирующей программы.

7. Составить, отладить и протестировать на контрольных примерах программу решения систем линейных уравнений методом простых итераций.

8. Попробовать применить программу к системам, где метод простых итераций не применим. Дополнить программу проверкой применимости метода.

9. Составить отчет, содержащий цель и назначение работы, постановку задачи, текст программы и варианты исполнения для своих данных.

10. Численные методы решения экстремальных задач

Постановка задачи.

Пусть -функция, определенная на некотором множестве . Будем рассматривать задачу минимизации функции . Любая задача максимизации функции на равносильна задаче минимизации функции на том же множестве . Поэтому можно ограничиться лишь изучением задач минимизации.

Классический подход.

Пусть кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая функция на отрезке [a, b] ([a, b]X). Это значит, что на [a, b] может существовать лишь конечное число точек, в которых функция либо терпит разрыв первого рода, либо непрерывна, но не имеет производной. Тогда точками экстремума функции на [a, b] могут быть лишь те точки, в которых выполняется одно из следующих условий: 1)терпит разрыв; 2)непрерывна, но производная не существует; 3)производная существует и равна нулю; 4)или . Такие точки принято называть точками подозрительными на экстремум. Поиск точек экстремума функции начинают с нахождения всех точек, подозрительных на экстремум. После того, как такие точки найдены, проводят дополнительное исследование и отбирают среди них те, которые являются точками локального минимума (максимума).

Упражнение 1. Запишите достаточное условие того, что подозрительная точка x^*  [a, b] является точкой локального минимума (максимума).

Чтобы найти глобальный минимум (максимум) функции на [a, b], нужно перебрать все точки локального минимума (максимума) на [a, b] и среди них выбрать точку с наименьшим (наибольшим) значением функции, если таковая существует (если вместо [a, b] имеем дело с R, то следует изучить поведение функции при или ).

К сожалению, классический метод имеет весьма ограниченное применение. В практических задачах вычисление зачастую является непростым делом. Например, значения функции определяется из наблюдений или эксперимента, и получить информацию о её производной крайне трудно. Поэтому важно иметь также и другие методы поиска экстремума, не требующие вычисления производной, удобные для реализации на ЭВМ.

Упражнение 2. Найти точки экстремума функции = sin³(x) + cos³(x) на отрезках [0, 3/4], [0, 2].

Упражнение 3. Пусть = (1 + e^1/x )^-1 при x0, f(0)=0. Найти точки экстремума этой на отрезках [-1, 0], [-1, 1], [1, 2] и на R.

Поиск экстремумов функций одной переменной является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к нему сводится более сложная задача поиска экстремумов функций множества переменных.

1. Численные методы поиска экстремумов функций одной переменной

Как было уже сказано, в общем случае функция может иметь несколько экстремумов (минимумов или максимумов). Задача поиска экстремумов сводится к их локализации и уточнению значений и в точке экстремума. Все рассмотренные ниже численные методы предполагают, что локализация экстремумов каким-либо образом произведена (например, графически или аналитически) и задача численных методов будет состоять в уточнении полученных результатов с заданной точностью . В дальнейшем для функций одной переменной под экстремумом будем подразумевать минимум. Будем считать, что [a,b], где a и b границы интервала поиска. В пределах отрезка [a,b] функция необязательно непрерывная, могут существовать разрывы первого рода. Достаточно чтобы функция на отрезке [a, b] была унимодальной, то есть, содержащей на указанном отрезке один минимум.