4. Регуляризация решения

При решении систем методом Гаусса желательно предусмотреть на каждом шаге перестановку уравнений. Необходимость в этом возникает в том случае, когда разрешающий элемент шага равен нулю и мы не можем из данного уравнения выразить эту переменную, чтобы подставить ее в последующие уравнения системы. Тогда в качестве разрешающего элемента берется максимальный по модулю элемент данного столбца, расположенный в нашей матрице ниже, а затем два уравнения меняют местами.

Задача 7.4. Докажите, что в невырожденных системах не может встретиться случай, когда и разрешающий элемент, и все элементы столбца ниже него на каком-то шаге окажутся равными нулю одновременно.

Более того, плох также случай, когда разрешающий элемент близок к нулю, поскольку при вычислениях нам приходится делить на него. В связи с конечной разрядностью вычислений, особенно при машинной реализации, чем меньше по модулю разрешающий элемент, тем больше на этом шаге погрешности округления при вычислениях. Пример полезности данного правила легко видеть при решении без перестановки уравнений и с таковой указанной ниже системы. При этом, для уменьшения громоздкости примера мы считаем, что все вычисления производятся с точностью до 5 значащих цифр.

___________________________________________

| 1.2357 | 2.1742 | -5.4834 | -2.0735

0 | 6.0696 | -6.2163 | -4.6921 | -4.8388

| 3.4873 | 6.1365 | -4.7483 | 4.8755

___|_________|_________|_________|__________

1 | 4.919 | -16.895 | 22.242 | 5.3462

| 2.8221 | 0.0007 | 10.727 | 10.727

___ |__ ______|_________|_________|__________

2 | | 0.41E-04 | 10.728 | 10.727

___ |_________|_________|_________|__________

| x3 = 0.99991

| x2 = 0.99994

| x1 = 0.99968

___ |_______________________________________

Правильный ответ: х1=1, х2=1, х3=1

Теперь поменяем местами 2-е и 3-е уравнения:

__________________________________________

| 1.2357 | 2.1742 | -5.4834 | -2.0735

0 | 3.4873 | 6.1365 | -4.7483 | 4.8755

| 6.0696 | -6.2163 | -4.6921 | -4.8388

___|_________|__________|_________|__________

1 | 2.8221 | 0.0007 | 10.727 | 10.727

| 4.919 | -16.895 | 22.242 | 5.3462

___|_________|_________|_________|__________

2 | | 24136 | 258930 | 258910

___|_________|_________|_________|___________

| x3 = 0.99992

| x2 = 1.4286

| x1 = 2.9021

___|________________________________________

Во втором случае полученные ответы значительно хуже, т.к. разрешающий элемент 0.0007 - очень маленькое число. Тем самым, для более качественного решения систем методом Гаусса надо предусмотреть на каждом шаге перестановку уравнений.