52 I. Основные характеристики макроэкономики

2.5. Модель Неймана

Модель Неймана [1, 4—6] применяется для изучения расширяющейся экономики. Эта модель, в отличие от модели Леонтьева, допускает производство одного продукта различными способами. Количество выпускаемых продуктов будем обозначать буквой n (в модели Леонтьева этой буквой обозначали количество отраслей), а количество способов их производства — буквой т. Количество отраслей в модели Неймана не рассматривается. Каждый способ про-

выпускается за счет этого матрица-столбец bj .

Интенсивностью производственного процесса называется объем товаров или услуг, выпускаемых в результате этого процесса в единицу времени.

Ïàðà a j , bj

женный в процессе под номером j , и называется базисом этого j-го производственного процесса. Все базисы производства назы-

ваются базисными процессами. Базисные процессы можно описать матрицей затрат A и матрицей выпуска B .

Коэффициенты затрат и выпуска неотрицательны, т.е. aij 0 è bij 0 . Поскольку для реализации любого процесса необходимы

затраты хотя бы одного продукта, то для каждого j найдется хотя

áû îäíî i , для которого

aij 0.

Аналогично, так как каждый продукт может быть произведен хотя бы одним способом, для каждого i найдется такое j , ÷òî

bij 0.

Продукция, идущая на конечное использование, в явном виде в модели Неймана не выделяется. Так как все секторы в модели рассматриваются как внутренние, или эндогенные, то рассматриваемая модель является замкнутой.

В модели Неймана заложен динамический процесс, причем осуществление затрат и выпуска готовой продукции разделено временны´ м интервалом, например годом. Номер года будем обозначать буквой t . Тогда t 0, 1, ..., T , ãäå T — общая длительность всего

производственного процесса. Номер года помещается в виде верхнего индекса при показателе в скобках. Если матрицу-столбец интенсивностей производственных процессов обозначить

x1t

X t x2t ,

...

xmt

то матрицу-столбец затрат и матрицу-столбец выпусков для года под номером t соответственно можно представить в виде

AX t è BX t .

Одним из условий модели Неймана является требование использования для производства товаров и услуг в данном периоде только тех продуктов, которые были произведены в предыдущем периоде. Отсюда следует, что затраты AX t в периоде под номером t не должны превышать выпуска в периоде под номером t 1 . Поэтому должны выполняться условия

матрица-столбец запаса товаров к началу процесса.

54 I. Основные характеристики макроэкономики

Модель Неймана, представленная в виде (2.17), задана в натуральной форме.

Матрицу-строку цен товаров можно ввести по формуле

ществляются по цене начала периода), а выручку в период времени

t — в виде матрицы-строки P t B (готовая продукция оценивается в конце периода). Модель Неймана в денежным выражении представляется в виде

ãäå t 0, 1, ..., T — номер периода.

Из выражений (2.18) è (2.19) следует, что ни один процесс в модели Неймана не приносит дохода. Одним из объяснений этого является то, что издержки относятся к началу периода, а выручка — к его концу, т.е. разнесены во времени. Если же цены во времени

падают, т.е. P t 1 P t , то существование соотношения (2.18) вполне логично, так как предприниматель может за те же деньги купить больше товаров в натуральной форме.

Если принять, что общая масса денег постоянна, то соотношение (2.19) можно записать в виде равенства

рица-строка цен P 0 A 5 6 и матрица-столбец начальных

запасов Bx 0 20 .

30

Найти такую интенсивность производственных процессов, при которых выпуск в конце первого года будет максимальным, и определить этот выпуск.

Полученные данные позволяют записать следующую задачу линейного математического программирования:

5x11 6x21 max

при условиях

2x11 4x21 20, 6x11 3x21 30,

Методы решения таких задач изложены во многих книгах, например, в [2, 3]. Рассматриваемую задачу можно решить графи- ческим способом. Построим область решений специальных ограничений задачи. Границей первой полуплоскости является прямая 2x11 4x21 20 èëè x11 2x21 10 . Эта прямая про-

ходит через две точки с координатами 10; 5 (рис. 2.1). Анало-

x2(1)

10

a

5

A

Ðèñ. 2.1. Область допустимых решений

Областью допустимых решений является четырехугольник с уг-

перпендикулярные этому вектору.

Последней точкой встречи прямой уровня с областью допустимых

x21 опт,max 103 . Максимальный выпуск в конце первого периода будет равен

P 1 BX 1 max 5x11 6x21 503 20 1103 ден. ед. ◄

Âобщем случае динамическую модель Неймана можно записать

ââèäå:

Если год от года выпуск увеличивается, то говорят о сбалансированном росте производства. При этом для всех производственных процессов должно выполняться соотношение

ãäå 0 — темп сбалансированного роста производства, t 1, ..., T , j 1, ..., m .

Из соотношения (2.21) найдем формулу для темпа сбалансированного роста:

Если известна интенсивность к началу рассматриваемого процесса x j0 , то соотношение (2.21) можно переписать в виде:

x jt 1 t x j0 .

В этой формуле t в коэффициенте 1 t является показателем степени.

Последовательность X X t , t 0, 1, ..., T называется траек-

торией производства. Если выполняется соотношение (2.21), т.е. имеет место сбалансированное производство, то траектория производства называется стационарной.

Если год от года цены уменьшаются, то говорят о сбалансированном снижении цен. При этом для всех цен должно выполняться соотношение

В рассматриваемом случае последовательность p p t , t 0, 1, ..., T

называется стационарной траекторией цен.

Если для модели Неймана существуют стационарная траектория производства X X t , t 0, 1, ..., T , стационарная траектория цен

P P t , t 0,1,...,T , темп сбалансированного роста производства

0 и норма процента r 0 , то указанные четыре показателя в комплексе образуют состояние динамического равновесия в модели Неймана.

Среди всех темпов сбалансированного роста производства и норм процента r можно выбрать максимальный темп сбалансированного роста производства и минимальную норму процента. Обозначим максимальный темп сбалансированного роста производства как , а минимальную норму процента — r . В [1] показано, что в состоянии равновесия и r существуют и равны между собой:

r P t BX t 1 ,

P t АX t

если для начальных условий выполняется соотношение

r P 0 BX 0 1 .

P 0 АX 0

Для условий максимального темпа сбалансированного роста производства и минимальной нормы процента траектория производства

X X t , t 0, 1, ..., T

называется траекторией равновесного роста, èëè траекторией Неймана, èëè лучом Неймана, èëè магистралью. Эта траектория соответствует максимальному сбалансированному росту:

найти максимальный темп сбалансированного роста производства и минимальную норму процента, а также луч Неймана.

Р е ш е н и е. Максимальный темп сбалансированного роста производства и минимальную норму процента определим по формуле

24 1 30 2 50 24 3 30 4 40

24 0,8 30 1 50 24 4 30 3 40 1 0, 2.

Для первого периода получим