МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ

Математика. Практикум по математическому анализу

Методические рекомендации

Москва – 2010

Автор

Мамонтова Н.В.

Рецензент

Утверждено и рекомендовано

УМС финансово-экономического факультета ВГНА Минфина России

в качестве учебно-методического издания

ВГНА Минфина России, 2010

Мамонтова Н.В., 2010

Математический анализ

1. Числовые множества

Под множеством понимается совокупность (набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. Если а – элемент множества А, то используется обозначение . Если b не является элементом множества А, то пишут .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается . Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, .

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, .

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, .

На диаграммах Эйлера – Венна:

Пример 1. Даны множества , . Найти .

Решение.

Изобразим множества А и В на числовых осях:

Объединение - числа, которые входят и в множество А и в множество В.

Разность - числа, которые входят только в множество А, но не входят в В.

Разность - числа, которые входят только в множество В, но не входят в А.

Пересечение - числа, которые входят как в множество А, так и в В.

Пример 2. Даны множества , . Найти .

Решение.

Пример 3. Даны множества , . Найти .

Решение.

Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi, где a и b – любые действительные числа, i – число, которое называется мнимой единицей, .

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z.

Числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными; числа a + bi и – a – bi – противоположными.

Операции над комплексными числами

Пусть , .

1.

2.

3.

4.

Пример 4. Даны комплексные числа . Найти .

Решение.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Действительных корней нет, но существуют комплексные корни уравнения.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

.

Задания для самостоятельного решения:

1. Даны множества , . Найти .

2. Даны множества , . Найти .

3. Даны множества , , где х – натуральное число.

Найти .

4. Даны множества , . Найти .

5. Даны комплексные числа и . Найти .

6. Даны комплексные числа ,, . Найти .

7. Решить уравнение .

8. Решить уравнение .

9. Решить уравнение .

2. Числовые последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определённое число , то говорят, что задана числовая последовательность : . Можно сказать, что числовая последовательность – это функция натурального аргумента . Числа называются членами последовательности, а число - общим или n-ным членом последовательности.

Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдётся номер N (зависящий от ε, N = N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство . Обозначается .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящийся.

Последовательность называется бесконечно малой, если

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа М > 0 существует номер N = N(M) такой, что при n > N выполняется неравенство Обозначается

Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены то пишут

Свойства бесконечно малых.

1. Сумма конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

2. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину (в частности на бесконечно малую) является бесконечно малой.

Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, то есть бесконечно большая, если бесконечно малая.

Величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.

Суммой, произведением и частным последовательностей и называется последовательности вида n = 1, 2, … .

Если последовательности и имеют конечные пределы то последовательности имеют пределы a + b, ab, соответственно.

В случае, когда последовательности и являются бесконечно большими или бесконечно малыми, возникают неопределенности типа отношения бесконечно малых или бесконечно больших, а также типа разность бесконечно больших и произведение бесконечно малой на бесконечно большую или некоторые другие более сложные типы неопределенностей.

Пример 1. Найти предел последовательности

Решение. При подстановке ∞ вместо n, получаем неопределенность Разделим числитель и знаменатель дроби на (наивысшая степень n).

По теоремам о пределах, используя связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, получим:

бесконечно малые величины).

Пример 2. Найти предел последовательности

Решение. При подстановке ∞ вместо n, получаем неопределенность Умножим и разделим выражение в скобках на сопряжённое и перейдем к пределу:

Пример 3. Найти предел последовательности

Решение. При подстановке ∞ вместо n, получаем неопределенность Разделим числитель и знаменатель дроби на n:

Пример 4. Найти предел последовательности .

Решение. При подстановке ∞ вместо n, получаем неопределенность Вынесем за скобки в числителе и в знаменателе члены, содержащие переменную:

.

Задания для самостоятельного решения:

Найти пределы последовательностей:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. 

6. .

7. .

8. .