Применение производной в экономике. Эластичность функции

Для исследования экономических процессов часто применяется понятие эластичности функции.

Эластичностью называют предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению аргумента

(темп изменения функции)эластичность показывает приближенно на сколько процентов измениться функция при изменении аргумента на 1%.

Свойства эластичности

1.

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

3. Эластичности взаимообратных функций – взаимообратные величины:

Эластичность применяется при анализе спроса и предложения. Если эластичность по абсолютной величине больше 1, то спрос эластичен, если меньше 1, то спрос не эластичен:

Если спрос неэластичен (), то предельный доход отрицателен при любой цене. Если спрос эластичен, то предельный доход положителен.

С возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса – уменьшается.

Примеры.

1. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции х (млрд. руб.) выражается функцией . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб.

Решение.

Находим эластичность себестоимости .

При , т.е. при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.

2. Зависимость между издержками производства y и объёмом выпускаемой продукции х выражается функцией (ден.ед). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.

Решение.

Функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением ; при средние издержки (на единицу продукции) равны (ден.ед.).

Функция предельных издержек выражается производной при предельные издержки составят (ден.ед.).

3. Даны функции спроса и предложения и , где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, р – цена товара. Найти равновесную цену и эластичность спроса и предложения для этой цены.

Решение.

Равновесная цена – цена, при которой спрос и предложение уравновешиваются, она определяется из условия q = s:

, т.е. равновесная цена равна 2 ден. ед.

Эластичности по спросу и предложению:

.

Для равновесной цены p = 2 находим:

.

Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения. Так, при увеличении цены р на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

Задания для самостоятельного решения

Найти производные функций:

1. 2. 3. 4. y = xctg4x

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. Найти производные функций и вычислить их значения при :

20.

21

22. .

Найти производные первого и второго порядка для функций:

23.

24.

25.

26. Зависимость между издержками производства y (ден.ед.) и объёмом выпускаемой продукции х (ед.) выражается функцией . Определить средние и предельные издержки при объёме продукции, равном 5 ед.

27. Даны функции спроса и предложения и . Найти равновесную цену и эластичность спроса и предложения для этой цены.