Исследование функций и построение графиков
Исследование функций и построение их графиков удобно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или периодической.
3. Найти вертикальные асимптоты графика функции, если есть точки разрыва функции II-го рода.
4. Найти наклонные или горизонтальные асимптоты, если они существуют. (Горизонтальные – частный случай наклонных).
5. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
8. Построить график функции, используя все результаты исследования.
Для уточнения графика можно найти ещё несколько точек графика функции, вычислив их координаты, исходя из её уравнения.
Пример
8. Исследовать
функцию
и построить её график.
Решение.
1.
Область определения функции
.
Так
как знаменатель равен нулю при
.
2. Проверяем функцию на чётность/нечётность:
функция
чётная, симметрична относительно оси
Оу.
3. Проверяем наличие вертикальных асимптот:
-
вертикальные асимптоты.
4. Находим наклонную или горизонтальную асимптоту:
-
горизонтальная асимптота.
5. Находим экстремумы и интервалы монотонности функции. Для этого находим первую производную:
.
Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
.
Отмечаем их на числовой оси и находим знаки производной в соответствующих промежутках, стрелками показываем возрастание и убывание функции:
Находим
значение функции в точке минимума:
точка с координатами
является
точкой минимума функции.
6. Находим интервалы выпуклости функции и проверяем функцию на наличие точек перегиба. Для этого находим производную второго порядка:
.
Приравниваем
её к нулю, находим точки, в которых вторая
производная равна нулю или не существует:
Точек
перегиба нет, т.к. точки -1 и 1 являются
точками разрыва.
Функция
выпукла на промежутках
;
вогнута на интервале
.
7.
Точка пересечения с осью Оy:
т.
Точка
пересечения с осью Ох:
нет
решений
график функции не пересекает ось Ох.
8. Построение графика следует начинать с асимптот. Затем, на графике отмечают все известные точки (максимум, минимум, точки перегиба и т.д.). Далее, строят сам график, учитывая промежутки возрастания, убывания функции и промежутки выпуклости.
Пример
9. Исследовать
функцию
и построить её график.
Решение.
1.
Область определения функции
.
Так как знаменатель равен нулю при x = 0.
2. Проверяем функцию на чётность/нечётность:
функция
общего вида.
3. Проверяем наличие вертикальных асимптот:
-
вертикальная асимптота (совпадает с
осью Оу).
4. Находим наклонную или горизонтальную асимптоту:
-
горизонтальная асимптота (совпадает с
осью Ох).
5. Находим экстремумы и интервалы монотонности функции:
.
Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
.
Находим значение функции в точке максимума:
точка
с координатами
является точкой максимума функции. В
точке х
= 0 нет минимума, т.к. функция в этой точке
не определена.
6. Находим интервалы выпуклости функции и проверяем функцию на наличие точек перегиба:
.
Приравниваем
её к нулю, находим точки, в которых вторая
производная равна нулю или не существует:
.
Находим
значение функции в точке перегиба:
.
Точка перегиба имеет координаты (1; 4).
7. Точек пересечения с осью Оy нет.
Точка
пересечения с осью Ох:
.
8.
Пример
10. Исследовать
функцию
и построить её график.
Решение.
1.
Область определения функции
.
Так как знаменатель равен нулю при x = 1.
2. Проверяем функцию на чётность/нечётность:
функция
общего вида.
3. Проверяем наличие вертикальных асимптот:
-
вертикальная асимптота.
4. Находим наклонную или горизонтальную асимптоту:
-
наклонная асимптота.
5. Находим экстремумы и интервалы монотонности функции:
.
Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
.
Находим
значение функции в точке минимума:
точка
с координатами
является точкой минимума функции.
Находим
значение функции в точке максимума:
точка
с координатами
является точкой максимума функции.
6. Находим интервалы выпуклости функции и проверяем функцию на наличие точек перегиба:
.
Приравниваем
её к нулю, находим точки, в которых вторая
производная равна нулю или не существует:
.
Функция
выпукла на промежутке
;
вогнута -
.
Точек перегиба нет, т.к. точка х = 1 является точкой разрыва.
7. График пересекается с осями Оy и Ох в начале координат (0; 0).
8.
Задания для самостоятельного решения
Исследовать на возрастание и убывание и найти экстремумы функций:
1.
2.
3.
4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функций:
5.
на отрезке
6.
на отрезке
7.
на отрезке
Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
8.
9.
10.
11.
Исследовать на выпуклость и вогнутость и найти точки перегиба графика функции:
12.
13.
14.
15.
16.
Найти асимптоты графиков функций:
17.
18.
19.
20.
21.
Исследовать функции и построить графики:
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
