3. Понятие функции. Предел и непрерывность функции
Если
определенному элементу х
из множества Х
ставится в соответствие определенный
элемент y
из множества Y,
то говорят, что на множестве Х
задана функция
.
При этом величина y называется зависимой переменной, а x- независимой переменной или аргументом. Множество Х называют областью определения функции и обозначают D(f) = X, а множество Y чисел y = f(x) называют множеством значений функции и обозначают E(f) = Y.
Функция называется четной, если она определена на симметричном относительно начала координат промежутке и выполняется f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x).
Функция
называется периодической
с периодом T,
если f(x)
= f(x
+ Tn),
Пусть
заданы функции y
= f(u)
на U
и u
= g(x)
на X.
Их композицией
(или сложной
функцией,
полученной последовательным применением
функций g
и f)
называется функция y
= f(g(x)),
Пусть
функция y
= f(x)
определена в окрестности точки
кроме, быть может, самой этой точки.
Число а
называется пределом
функции f(x)
в точке
(или при
если
для любого числа
найдется число
такое, что для всех
удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
Обозначается:
Пример
1. Найти
односторонние пределы функции
в точке
.
Решение.
Вычислим пределы функции в точке
слева и справа, т.е.
и
.
При
:
.
При
:
.
Пример
2. Найти
односторонние пределы функции
в точке
.
Решение.
Вычислим пределы
и
.
При
:
-
под знаком квадратного корня отрицательное
число
левосторонний предел
не существует.
При
:
.
Методы раскрытия неопределённостей при вычислении пределов функций
● Неопределённость
.
Примеры:
1.
Вычислить
Решение.
Для раскрытия неопределенности
разложим числитель и знаменатель на
множители и сократим дробь на (x
– 1). Сокращение
возможно, так как при
но
2.
Вычислить
Решение.
Для раскрытия
неопределенности
преобразуем дробь так, чтобы сократить
её на множитель, стремящийся к нулю (на
x).
Для этого уничтожим иррациональность
в числителе, умножая числитель и
знаменатель на выражение
,
сопряжённое с числителем. Затем сокращаем
дробь на x:
● Неопределённость
.
Примеры:
1.
Вычислить:
Решение.
Имеем
неопределенность вида
.
Разделив числитель и знаменатель дроби
на
,
(
-
наибольшая степень переменной х),
получим:
.
Так как выражение в числителе стремится к 1, а знаменатель – бесконечно малая величина, значит, их отношение есть величина бесконечно большая.
Если
требуется вычислить предел отношения
двух многочленов
,
где n
– максимальная степень числителя, m
– максимальная степень знаменателя, и
при этом возникает неопределённость
,
то:
-
предел равен 0, если n < m;
-
предел равен ∞, если n > m;
-
предел отношению коэффициентов при максимальных степенях числителя и знаменателя
,
если n
= m.
2.
Вычислить
.
Решение.
При вычислении возникает неопределённость
,
максимальная степень числителя n
= 10, максимальная степень знаменателя
m
= 10, следовательно
предел равен отношению коэффициентов,
стоящих при этих степенях:
.
3.
Вычислить
.
Решение.
,
,
n
> m
.
4.
Вычислить
.
Решение.
,
,
n
< m
.
● Неопределённость
.
Примеры:
1.
Вычислить
Решение.
Имеем неопределённость вида
,так
как
,
Воспользуемся
вторым замечательным пределом. Представим
дробь в виде суммы 1 и бесконечно малой
функции:
2.
Вычислить
.
Решение.
Воспользуемся формулой следствия из
второго замечательного предела
:
.
3.
Вычислить
.
Решение.
Воспользуемся формулой следствия из
второго замечательного предела
:
.
● Неопределённость
.
Примеры:
1.
Вычислить
.
Решение.
2.
Вычислить
.
Решение. Умножим и разделим данное выражение на сопряжённое:
● Неопределённость
.
Примеры:
1.
Вычислить
.
Решение.
Представим переменную х
как
и воспользуемся первым замечательным
пределом, заменив
на новую переменную t:
.
2.
Вычислить
.
Решение.
Так как
,
то
.
Заменим
на новую переменную и воспользуемся
следствием из первого замечательного
предела
:
