- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •2. Числовые последовательности
- •3. Понятие функции. Предел и непрерывность функции
- •Методы раскрытия неопределённостей при вычислении пределов функций
- •Эквивалентные бесконечно малые величины
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва
- •Классификация точек разрыва
- •4. Производная и дифференциал функции
- •Правила дифференцирования
- •Дифференциал функции
- •Производные высших порядков
- •Применение производной в экономике. Эластичность функции
- •5. Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функций. Локальный экстремум функции
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции
- •Асимптоты графика функции
- •Исследование функций и построение графиков
- •Примерные варианты контрольной работы № 1 по математическому анализу
- •6. Неопределённый интеграл Первообразная. Неопределённый интеграл
- •Основные методы интегрирования Метод разложения
- •Метод замены переменной. Подведение под знак дифференциала
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование дробно-рациональных выражений
- •Метод неопределённых коэффициентов
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
Примерные варианты контрольной работы № 1 по математическому анализу
Вариант 1
1. Даны множества: , .
Для указанных множеств найти: а) , б), в).
2. а), , . Найти .
б) Решить уравнение .
3. Вычислить пределы:
.
4. Вычислить производные:
5. Исследовать функцию и построить её график.
Вариант 2
1. Даны множества: , .
Для указанных множеств найти: а) , б), в).
2. а) Найти
б) Решить уравнение
3. Вычислить пределы:
4. Вычислить производные:
5. Исследовать функцию и построить её график.
6. Неопределённый интеграл Первообразная. Неопределённый интеграл
Функция F(x), определённая и дифференцируемая на отрезке , называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство .
Если функция f(x) имеет первообразную F(х), то все функции вида F(x)+C также являются первообразными для f(x), где С = const.
f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение.
Теорема. Если F(x) и G(x) – две любые первообразные для f(x), то они могут различаться лишь на постоянное слагаемое, т.е. .
Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается , где С – произвольная постоянная.
Действия дифференцирования и интегрирования взаимно обратны:
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций:
6. Если , то , где a, b – постоянные числа, а ≠ 0.
7. Если , то , где - любая дифференцируемая функция.
Таблица неопределённых интегралов
1., n ≠ -1 2. 3. 4. 5. , а > 0, а ≠ -1 6. 7. 8. 9. 10. |
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. , n ≠ -1, k ≠ 0 19. 20.
|
Основные методы интегрирования Метод разложения
Пусть , тогда на основании свойства неопределенного интеграла: .
Примеры:
Найти интегралы:
1.
При решении данного примера использовались свойства неопределённого интеграла: вынесение постоянного множителя за знак интеграла, разделение суммы функций, стоящих под знаком интеграла, на несколько интегралов, значения которых являются табличными.
2. .
3. .
4.
.
5. .
6. .