19
AT, |
|
ω |
|
≤π T |
|
|||||
|
|
|
||||||||
S(ω) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
0, |
|
ω |
|
>π T |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(ω)
AT
−π T |
π T |
ω |
Преобразование Фурье является одним из важнейших ортогональных преобразований, используемых в цифровой обработке сигналов. Действительно, вполне физически ясен смысл перехода от временного описания исходного сигнала к его частотному описанию. Кроме того, двумерное преобразование Фурье описывает не что иное, как дифракцию электромагнитных и упругих волн в дальней зоне (дифракцию Фраунгофера) – т.е. на большом (по сравнению с размерами источника и длиной волны)
расстоянии от источника [14,16,25].
2.5.Свойства преобразования Фурье
1.Линейность:
если S(t) = af (t) + bg(t) то:
S(ω) = aF(ω) + bG(ω) . |
(2.10) |
2.Инвариантность к линейному смещению (задержке) сигнала:
∆t – время задержки:
S1(t) = S(t − ∆t) ; S1 – задержанная на ∆t копия сигнала S(t), тогда:
(2.11)
линейный фазовый множитель.
Отсюда следует, что амплитудный спектр сигнала не изменится при любой его задержке (линейный сдвиг). Фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое −ω∆t , линейно зависящее от частоты.
3.Масштабируемость спектральной плотности
Пусть S1(t) = S(at) , |
|
где |
a |
– масштабирующий множитель, |
при |
|
a |
|
>1 |
||
|
|
||||||||||
сигнал сжимается, при |
|
a |
|
<1 |
– |
растягивается, кроме того если |
a < 0, |
|
то |
||
|
|
|
|||||||||
дополнительно происходит зеркальное отражение сигнала по вертикальной оси.
20
Для a > 0:
S1(ω) = ∞∫ S(at
−∞
Для a < 0:
|
|
|
1 |
|
|
|
ω |
|
|
или S1 |
(ω) = |
|
|
|
|
|
S |
|
; a |
|
|
a |
|
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
И для a = −1:
|
1 |
∞ |
ω |
)e− jωt dt = |
∫ |
S(at)e− j a adt |
|
|
a |
−∞ |
|
S1(ω) = − 1 S ω a a
≠ 0
S1(ω) = S* (ω)
=1 S ω a a
(2.12)
4.Дифференцирование сигнала:
S (t) = dS |
= lim |
S(t +ξ) − S(t) |
|
||
|
|
||||
1 |
dt |
ξ→0 |
ξ |
|
|
Тогда |
|
||||
S1(ω) = jωS(ω) |
(2.13) |
||||
|
|||||
При дифференцировании низкие частоты ослабляются, а высокие усиливаются. Фазовый спектр сдвигается на π
2 для положительных частот и
на −π
2 – для отрицательных.
5.Интегрирование сигнала
S1(ω) = Sj(ωω) – это справедливо для сигналов, не содержащих постоянных
составляющих, т.е. если ∞∫ S(t)dt = 0 .
−∞
В противном случае появляется дополнительное слагаемое от постоянной составляющей в виде δ - функции на частоте ω = 0 .
|
S (ω) = |
S(ω) |
+πS(0)δ(ω) |
(2.14) |
|
|
|||
|
1 |
jω |
|
|
|
|
|
||
При этом происходит ослабление высоких частот и усиление |
||||
низкочастотных гармоник. |
|
|
|
|
6. |
Спектр свёртки двух сигналов: |
|
||
Свёртка двух сигналов определяется как: |
|
|||
S1(t) = ∞∫ S(t1)g(t −t1)dt1 , тогда спектральная плотность свёртки |
двух |
|||
|
−∞ |
|
|
|
сигналов есть: |
|
|
(2.15) |
|
|
S1(ω) = S(ω) G(ω) |
|||
7. |
Спектральная плотность от произведения двух сигналов |
|
||
Пусть S1(t) = S(t) g(t)
21
Тогда спектральная плотность такого сигнала равна:
S (ω) = |
1 |
∞ S(ω )G(ω −ω )dω , |
(2.16) |
||
|
|||||
1 |
2π |
1 |
1 |
1 |
|
|
−∫∞ |
|
|
|
|
т.е. является свёрткой спектральных плотностей двух сигналов.
8.Эффект переноса спектра
Умножим исходный сигнал на гармоническую функцию:
S1(t) = S(t) cos(ω0t +ϕ0 )
и попытаемся найти спектральную плотность такого сигнала:
S1(ω) = ∞∫ S(t) cos(ω0t +ϕ0 )e− jωt dt .
−∞
Представим cos x в виде:
cos x = 12 (e jx + e− jx ) – на основе формулы Эйлера, тогда:
S1(ω) = ∞∫ |
S(t) |
e jω0t+ jϕ0 + e− jω0t− jϕ0 |
e− jωt dt = |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
−∞ |
2 |
|
|
|
|
|
= |
1 |
∞∫ S(t)e jϕ0 e− j(ω−ω0 )t dt + |
1 |
∞∫ S(t)e− jϕ0 e− j(ω+ω0 )t dt = |
(2.17) |
|||
|
2 |
−∞ |
|
|
2 |
−∞ |
|
|
=12 e jϕ0 S(ω −ω0 ) + 12 e− jϕ0 S(ω +ω0 )
9.Равенство Парсеваля или закон сохранения энергии:
E1(t) = ∞∫ S2 (t)dt
−∞
E2 (ω) = 21π ∞∫ S(ω) 2 dω
−∞
E1 <≡> E2
Однако на практике сигнал имеет конечную длительность, т.е. финитен, и
E1 = T∫S2 (t)dt – является определённым интегралом, т.е. числом.
0
Величина же E2 (ω) является неопределённым интегралом, т.е. функцией.
Зададим некоторую полосу частот [-ωmax , ωmax ], в пределах которой передаётся подавляющая доля энергии сигнала (до 90÷95). Ширина полосы
частот ω = 2ωmax |
называется практической шириной спектра сигнала. |
|||||||
Тогда E |
|
= |
1 |
ωmax |
|
S(ω) |
|
2 dω – также является определённым интегралом |
|
|
|
|
|||||
2 |
2π −ω∫ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому равенство Парсеваля приобретает вид: