131 |
|
Qr = 4 N[log2 N]r2 qD |
(319.) |
В таблице 8.1 приведены значения для времени выполнения ДПФ и БПФ по различным основаниям при условии, что tсл=tумн=100нсек.
Таблица 8.1.
Размер вектора |
Время выполнения, сек. |
|||
|
N |
БПФ |
ДПФ |
|
16 |
|
24 |
2,56 10-5 |
2,0 10-4 |
25 |
|
52 |
2 10-4 |
5 10-4 |
27 |
|
33 |
6,5 10-5 |
6,5 10-5 |
32 |
|
25 |
6,4 10-5 |
8 10-4 |
81 |
|
34 |
7,8 10-4 |
5,3 10-3 |
125 |
|
53 |
1,5 10-3 |
1,2 10-3 |
128 |
|
27 |
3,6 10-4 |
1,3 10-2 |
512 |
|
29 |
1,8 10-3 |
2 10-1 |
625 |
|
54 |
10-2 |
3 10-1 |
1024 |
|
216 |
4,1 10-3 |
8,3 10-1 |
16384 |
|
214 |
≈1 сек. |
≈36 мин. |
Поэтому с точки зрения сокращения вычислительных затрат выгодны алгоритмы БПФ по основанию 2 (или 4), причем с ростом основания r выигрыш уменьшается.
8.7. Выполнение БПФ для случаев N ≠ r M
Если N = m1 * m2 * m3 * m4 ...mM , то в этом случае выполняется алгоритм БПФ
по смешанному основанию. Он может быть реализован как алгоритм с прореживанием по частоте или как алгоритм с прореживанием по времени. В обоих случаях такой алгоритм выполняется за M итераций. Однако на каждой итерации выполняется различное число базовых операций, причём размерность матрицы ядра ДПФ базовой операции на каждой итерации различна и составляет Emi , а число БО соответственно на каждой итерации составляет -
N mi , где до первой итерации элементы вектора переупорядочиваются с шагом N mi [13]. На рис. 8.5. приведен в качестве примера граф БПФ для N = 6 = 3x2.
|
|
132 |
|
x0 |
|
|
|
x1 |
|
E2 |
|
E3 |
|
||
w30 |
w60 |
||
|
|||
x2 |
|
|
|
w30 |
|
E2 |
|
x3 |
|
||
|
|
||
|
|
w62 |
|
x4 |
E3 |
|
|
w30 |
|
||
|
E2 |
||
x5 |
|
||
|
|
||
w30 |
|
w62 |
Рис.8.5. Граф БПФ для N=6
Если же N является простым числом и не может быть разложено на взаимно-простые множители, то в этом случае также можно использовать алгоритм быстрого преобразования, но особого вида - так называемый алгоритм Винограда [15]. Этот алгоритм позволит значительно сократить число операций умножения, но зато число операций сложения сокращается не столь существенно, причем требуются достаточно сложные процедуры перекомпоновки векторов промежуточных результатами.
Поэтому для современных ЭВМ, и особенно спецпроцессоров, когда ∆tумн ≈ ∆tсл ( а в некоторых из них одинаково время любой операции), такие
алгоритмы, как и БПФ по смешанному основанию, не приносят слишком большого выигрыша по времени.
С точки зрения экономии времени целесообразно дополнить вектор до N = r M (желательно N = 2M или N = 4M ) нулями. Однако такой прием приводит к некоторому искажению результата, что связано с введением так называемой оконной функции. Пусть исходных сигнал задан в виде вектора из N1 отсчетов
(рис.8.6.).
Для того, чтобы иметь возможность использовать алгоритмы БПФ дополним сигнал нулевыми отсчетами до общего числа отсчетов N= 2M , причем N – ближайшее большее к N1 .В этом случае исходный сигнал оказывается заданным с помощью функции
f (x) = f (x)*g(x),
где g(x) – функция окна вида
|
X * |
N1 |
|
|
|
|
|||
g(x) = rect( |
2 |
) |
||
|
||||
|
N1 |
|||