14

ω1 = 2Tπ

Рис.2.2. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов.

Амплитудный и фазовый спектры периодических сигналов дискретны, т.е. определены на фиксированных частотах ωk = kω1 = 2Tπ k

2.4. Представление в частотной области непериодических сигналов

Реальный сигнал ограничен во времени и, следовательно, является непериодическим. Однако, условно его можно рассматривать как периодический с периодом Т→∞. Тогда ω0=2π/T →0, а спектры амплитуд и фаз становятся непрерывными (сплошными), сумма в разложении Фурье превращается в интеграл. Такое интегральное преобразование относится к классу ортогональных интегральных преобразований. Поэтому вначале рассмотрим основные особенности ортогональных преобразований.

2.4.1. Введение в теорию ортогональных преобразований

Две вещественные функции g(x) и h(x), заданные на конечном или бесконечном интервале (a<x<b), называются ортогональными друг другу на этом интервале, если

∫b g(x)h(x)dx = 0

a

При этом функции предполагаются конечными либо бесконечными, но обязательно с абсолютно сходящимся интегралом. Интеграл называется абсолютно сходящимся если

∞∫ f (x) dx < ∞.

a

Система функций называется ортогональной на некотором интервале, если каждые две функции из этой системы ортогональны друг другу на этом интервале.

Пусть задана система функций

g1(x),g2(x),…,gn(x)

ортогональная на некотором интервале (a<x<b).

15

Может возникнуть задача о разложении произвольной функции f(x) на этом интервале в ряд по функциям (2.1), т.е. в ряд вида

∞

f (x) = a1g1(x) + a2g2 (x) +... + an gn (x) +... = n∑=1an gn (x) ,

где an – числовые коэффициенты. При этом возникают вопросы: возможно ли разложение для любой функции f(x) и как найти коэффициенты an .

Будем считать для простоты все рассматриваемые функции, а также интервал конечным. Ответ на первый вопрос зависит от выбора системы, по которой мы будем производить разложение. Если разложение возможно для любой функции f(x), то система функций называется полной [6].

Перейдем теперь к нахождению коэффициентов an разложения, причем будем считать, что ни одна из функций (2.1) не равна тождественно нулю. Для этого умножим обе части уравнения (2.2) на gn(x) и проинтегрируем результат по интервалу (a<x<b).

В силу ортогональности системы (2.1), в правой части последнего равенства все интегралы равны нулю, за исключением интеграла от gn2(x), и мы получаем формулу для коэффициентов

b

∫ f (x)gn (x)dx

an = a (n=1, b∫ gn2 (x)dx

a

2.4.2. Интегральное преобразование Фурье

Непериодический сигнал может быть в частотной области описан с помощью прямого интегрального преобразования Фурье, однако он для этого должен удовлетворять следующим требованиям:

1)должно выполняться условие Дирихле;

2)должен быть абсолютно интегрируемым, т.е.:

∞∫ S(t) dt < ∞.

−∞

Прямое преобразование Фурье (Direct Fourier Transform)имеет вид:

(2.6),

где S(ω) – спектральная функция или спектральная плотность сигнала (в

(2.6) и далее означает комплексную функцию). Иногда в задачах обработки сигналов ее называют фурье-образом или фурье-спектром сигнала.

В этом в ыражении для его преобразования использована формула Эйлера для записи комплексного числа в тригинометрической форме:

От спектральной плотности можно перейти к амплитудному спектру

16

Обратное преобразование Фурье (Inverse Fourier Transform)

обеспечивает переход из частотной области во временную область заданного сигнала:

Пример 1. Пусть сигнал является отдельным прямоугольным импульсом

(рис.2.3.)

∆t

−∆t2 ∆t2

Рис 2.3. Прямоугольный импульс.

Такой сигнал может быть описан как (см. раздел 2.1):

A, t ≤ ∆t 2

S(t) = 0, t > ∆t2

В этом случае спектральная плотность сигнала определяется следующим образом (с учетом выражения (2.6))

Амплитудный и фазовый спетры такого сигнала представлены на рис. 2.4 и рис.2.5 соответственно.

18

S(t) = A, 0 ≤ t ≤ ∆t ,

0, t < 0; t > ∆t

Тогда получаем выражение для его спектральной плотности:

На рис. 2.7 представлен амплитудный спектр сдвинутого прямоугольного импульса такого сигнала, а на рис. 2.8 – его фазовый спектр.

t t t

Рис.2.7. Амплитудный спектр сдвинутого прямоугольного импульса

Рис. 2.8. Фазовый спектр сдвинутого прямоугольного импульса

Отметим, что амплитудные спектры на рис.2.4 и рис. 2.7 совпадают , несмотря на сдвиг прямоугольного импульса.

Пример 3. Пусть исходный сигнал имеет вид:

S(t) = A sin(πtT ) , πtT

Отсюда не трудно получить, что его спектральная плотность имеет вид: