Стационарный случайный процесс – это процесс, статистические характеристики которого одинаковы во всех временных сечениях.

Случайный процесс строго стационарен (или стационарен в узком смысле), если его многомерная плотность вероятности P(x1, x2 ,...xn ,t1,t2 ,...tn )

( n –произвольная размерность, n ≥ 3) не изменяется при одновременном сдвиге всех временных сечений t1,t2 ,...tn на одинаковую величину ∆t :

т.е.:

P(x1, x2 ,...xn ,t1,t2 ,...tn ) = P(x1, x2 ,...xn ,t1 + ∆t,t2 + ∆t,...tn + ∆t)

для любого ∆t .

Процесс стационарен в широком смысле, если такое свойство независимости от временного сдвига обеспечивается лишь для одномерной и двумерной плотности вероятности.

Для стационарного случайного процесс математическое ожидание и дисперсия не зависят от моментов времени t1 и t2 , а лишь от интервала

∆t = t2 −t1 между ними, т.е.

Rx (t1,t2 ) = Rx (t2 −t1) = Rx (∆t)

Также для стационарного процесса:

Rx (−∆t) = Rx (∆t)

и, кроме того,

Rx (∆t) ≤ Rx (0) = Dx

Коэффициент корреляции в этом случае:

rx (∆t) = Rx (∆t) Dx

Стационарным является любой случайный процесс, реализации которого являются периодическими функциями. Например, x(t) = Acos(ω0t +ϕ) –

стационарен, ϕ – случайная величина.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим (ergodic),

если при определении любых его статистических характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквивалентно усреднению времени одной,

теоретически бесконечной реализации.

Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации, а дисперсия эргодического процесса – смысл мощности флуактуационной составляющей.

Достаточной условие эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с

35

ростом t . Так, например, случайный процесс x(t) = Acos(ω0t +ϕ) – является стационарным и эргодическим.

3.5. Спектральные характеристики случайных процессов

Для каждой реализации случайного процесса можно определить свою спектральную плотность Sx (ω), выполнив прямое преобразование Фурье. Для

множества (ансамбля) реализаций можно определить статистически усреднённую спектральную плотность Sx (ω):

Sx (ω) = ∞∫ x(t)e− jωt dt = ∞∫x(t)e− jωt dt = ∞∫ mx (t)e− jωt dt

−∞ ∞ −∞

Таким образом, усреднённая спектральная плотность случайного процесса представляет собой спектр его детерминированной составляющей (математического ожидания). Для центрированного случайного процесса

mx (t) = 0 и Sx (ω) = 0 .

Вывод – вычисление Sx (ω) не несёт информации о собственно случайной

составляющей процесса, так как фазы спектральных составляющих в различных реализациях независимы и случайны.

Рассмотрим спектральную плотность мощности случайного процесса,

так как мощность не зависит от соотношения фаз спектральных составляющих.

При увеличении времени T энергия всей реализации неограниченно возрастает, а средняя мощность стремиться к некоторому пределу.

Пусть T → ∞, тогда получаем:

спектральная плотность мощности – power spectral density (PSD).

36

Для центрированного эргодического процесса средняя мощность для любой реализации равна дисперсии процесса, т.е.:

D x = 21π ∞∫W (ω)dω

−∞

Заметим, что W (ω) – вещественная функция и не содержит информации

о фазах спектральных составляющих, тем самым она не позволяет восстановить отдельные реализации случайного процесса.

3.5.1. Теорема Винера-Хинчина

Взаимосвязь между корреляционной функции случайного процесса и его спектральной плотностью мощности устанавливает теорема Винера-Хинчина

[16,19]:

R(τ) = 1 ∞∫W (ω)e jωτ dω

2π −∞

Поскольку R(τ) и W (ω) являются вещественными и чётными функциями, то:

R(τ) = 1 ∞∫W (ω)cos(ωτ)dω;

π 0

W (ω) = 2∞∫R(τ)cos(ωτ)dτ

0

Интервал корреляции – это числовая характеристика, которая служит для оценки «скорости» изменения реализаций случайного процесса. Эта величина определяется следующим образом:

Если имеется информация о поведении какой-либо случайной величины в прошлом, то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка τk .

Интервал корреляции и практическая ширина случайного сигнала связаны соотношением:

Белый шум – спектральная плотность мощности его постоянна:

W (ω) =W0 = const

Согласно теореме Винера-Хинчина:

R(τ) = W0 ∞∫ e jωτ dτ =W0δ(τ)

2π −∞

т.е. корреляционная функция белого шума равна 0, кроме точки τ = 0 , где является δ -функцией. В несовпадающие моменты времени значения белого шума не коррелированны.

37

Такой шум является математической абстракцией и не имеет физической модели, что объясняется бесконечной дисперсией белого шума (т.е. средней мощности). Однако если исследуемая полоса пропускания существенно уже практической ширины спектра шума, воздействующего на некоторую систему, то можно для упрощения реальный случайный процесс заменить белым шумом.

3.6. Комплексная огибающая сигнала

Рассмотрим сигнал, у которого одновременно осуществляется по какомулибо закону изменение (модуляция) амплитуды и фазы:

Ψ(t) =ω0t +ϕ(t)

Сигнал вида (2.6) можно представить как вещественную часть импульсной функции:

амплитудной огибающей и фазовой функции сигнала. Их произведение называют комплексной огибающей сигнала:

Для отличия того, что эта функция комплексная, обозначим её с точкой. Введём понятие комплексного сигнала Sm (t) (иногда его называют

аналитическим сигналом).

Произвольный сигнал S(t) представляет собой действительную (вещественную) часть сигнала Sm (t) .

S(t) = Re Sm (t) .

Для того, чтобы было возможным определить как амплитуду, так и фазу сигнала, необходима мнимая часть исходного комплексного сигнала:

S (t) = Im Sm (t) ,

которая называется сопряжённым сигналом или квадратурным дополнением. Тогда:

Sm (t) = Re Sm (t) + j Im Sm (t) = S(t) + jS (t) .

Квадратурное дополнение S (t) можно получить из S(t) с помощью

преобразования Гильберта, которое имеет вид:

S (t) = 1 ∞∫ tS(t1t) dt1 .

π −∞ − 1

Точно также, с помощью обратного преобразования Гильберта может быть по S (t) получен сигнал S(t):

38

S(t) = −π1 ∞∫ St −(tt1) dt1 .

−∞ 1