52
Вычислительная сложность локального преобразования составляет
Qл = N2 m2 (БО),
где под базовой операцией понимается выполнение заданного преобразования для отдельного отсчета исходных сигналов. Примером локальных преобразований могут служить апериодическая свертка или корреляция, а также процедуры ранговой фильтрации.
Глобальное преобразование предусматривает формирование каждого отсчета результата как функции от всей совокупности отсчетов исходного сигнала и некоторого множества меняющихся от одного отсчета результата к другому по определенному правилу коэффициентов, составляющих так называемое ядро преобразования. В случае обработки одномерного исходного
сигнала глобальное преобразование можно определить как |
|
|
Yi = F(Gi,X); |
X = [x0 x1 x2 ... xn ], |
i = 0, N-1 (5.6) |
где Gi – изменяемое ядро преобразования. Вычислительная сложность глобального преобразования в общем случае для случая обработки двумерного сигнала составляет
Qг = N4 (БО),
где под базовой операцией понимается выполнение заданного преобразования вида (1.6) для отдельного элемента исходных данных. Примером подобных преобразований могут служить дискретные ортогональные преобразования типа преобразования Фурье, Хартли, Адамара.
5.1. Линейные и нелинейные преобразования
Все преобразования ЦОС могут быть подразделены по своему типу на линейные и нелинейные преобразования [5,16,21].
Пусть x(t) - входная последовательность, |
а y(t1 ) - выходная |
последовательность, связанная со входной через некоторое функциональное преобразование T
y(t1)=T[x(t)] |
(5.7) |
Для линейных преобразований справедлив аддитивный закон : |
|
T[ax1 (t)+ bx2 (t)]= aT[x1 (t)]+ bT[x2 (t)]= ay1 (t1 )+ by2 (t1 ) , |
(5.8) |
где a и b – некоторые константы. Таким образом, линейное преобразование, применяемое к суперпозиции исходных сигналов эквивалентно по своему воздействию суперпозиции результатов преобразования каждого из сигналов. Свойство линейности является весьма важным для практических приложений, поскольку позволяет значительно упростить обработку различных сложных сигналов, являющихся суперпозицией некоторых элементарных сигналов. Так, в частности, за простейший элементарный сигнал может быть принят моногармонический сигнал x(t), описываемый функцией:
x(t) = a cos(2πνt −ϕ),
53
где a - амплитуда, ν = T1 - частота, T - период, , ϕ - начальная фаза.
Тогда более сложный полигармонический сигнал может быть записан как суперпозиция простейших моногармонических сигналов:
x(t) = ∑ak cos(2πν kt −ϕk )
^ K
k =0
Важное место в цифровой обработке сигналов имеет некоторый идеализированный простейший импульсный сигнал, называемый дельтафункцией или единичным импульсом:
(x) 0, x ≠ 0
δ = 1, x = 0
Cогласно теории цифровой обработки сигналов, любой сигнал может быть представлен как суперпозиция взвешенных единичных импульсов следующим образом:
∞ |
|
x(t)= ∑x(tk )δ(t − tk ) |
(5.9) |
k=−∞
где x(t) – отсчет сигнала в некоторый момент времени.
Если на вход системы ЦОС, выполняющей линейное преобразование, поступает единичный импульс, то сигнал h(t), снимаемый с выхода системы и являющийся откликом системы на единичный импульс, носит название импульсной характеристики (импульсного отклика) системы. Импульсный отклик является важнейшей характеристикой системы и позволяет описать ее как “черный ящик”, задав реакцию системы на некоторый простейший эталонный сигнал.
Если h(t) конечна, то такие системы называются КИХ-системами, т.е. системами с конечной импульсной характеристикой. Если h(t) бесконечна, то это БИХ-системы, т.е. системы с бесконечной импульсной характеристикой. В цифровой обработке сигналов имеет смысл рассматривать только КИХсистемы, поскольку время обработки, т.е. реакции системы на входной сигнал должно быть конечно.
Подставив (5.9.) в (5.8), получаем для линейных преобразований:
y t = T x(t) = T ∑ |
x t δ |
t − t |
= ∑ |
x t T δ |
t − t = ∑ x t h (t) |
||||||
( 1 ) [ ] |
∞ |
( k ) ( |
|
k ) |
∞ |
( k ) [ ( |
k )] |
∞ |
( |
k ) |
k (5.10) |
|
|
k=−∞ |
k=−∞ |
||||||||
|
k=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, для линейной системы результат обработки любого поступившего на вход сложного сигнала может быть определен как суперпозиция импульсных откликов системы на поступившие на вход единичные импульсы с соответствующей начальной задержкой и весом, определяемым весом соответствующего отсчета исходного сигнала.
Примерами линейных преобразований могут служить преобразования Фурье, Хартли, свертка и корреляция. К нелинейным преобразованиям относятся, в частности, многие алгоритмы распознавания, гистограммные преобразования и ранговая фильтрация.
5.2. Характеристики линейных систем