Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Цифровая обработка сигналов.pdf
Скачиваний:
476
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
1.87 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

 

 

 

 

 

133

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

 

 

 

N1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

N=2M; N <N

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Рис. 8.6. Проявление эффекта окна

 

 

Поэтому при вычислении преобразования Фурье от

f€(x) проявляется

эффект, получивший название “эффекта окна”.

 

 

 

€

€

 

− j 2πςx

 

− j 2πςx

dx = F(ς ) G(ς ) ,

F(ς ) = ∫

f (x) e

 

dx = ∫[ f (x) * g(x)]e

гдеG(ζ ) = sin c(ζ

)

 

 

при этом функция G(ς ) будет тем ближе к δ - функции,

 

N1

 

 

 

 

 

 

 

чем шире rect[

2x

 

]

или чем N1 ближе к N.

Проявляется “эффект окна” в

 

N1∆x

 

 

 

 

 

 

искажении периферийных областей спектра сигнала [21]. Поэтому, во

избежание проявления “эффекта окна” удобнее функцию f (x)

при переходе от

N1 к N сделать периодической с периодом

N1 , дополнив вектор исходных

данных до длины N , повторив первые ( N − N1 )

отсчетов за последние элементы

вектора X .

 

 

 

 

 

 

 

 

8.8. Быстрое преобразование Хартли

Как уже отмечалось в разделе 6.2, множители ядра преобразования Харли не обладают свойством мультипликативности. Это не позволяет достаточно просто записать выражения для итерации алгоритма БПХ в матричной форме.

Выполним выкладки для получения выражений, описывающих итерацию БПХ. Для этого возьмем за основу выражения для описания “бабочки” БПФ ( N = 2m ) произвольной итерации согласно (8.10):

 

 

 

 

 

 

 

cos

2πk

 

 

2πk

(1)

 

f

k ,m

=

f

− +

f +

−

− j sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nm

 

Nm

 

(8.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πk

 

 

2πk

 

 

 

 

=

fk ,m−1

− fk+l,m−1

 

 

− j sin

 

fk+l,m

cos

Nm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nm

 

134

здесь l=2m-1, k = (n) mod l , N = 2m .

Воспользуемся выражениями, связывающими отсчёты ДПФ и ДПХ [3]:

f

k,m−1

=

(h

 

+ h

p,m−1

) /

2 − j(h

 

−h

p,m−1

) / 2

 

(*)

 

 

 

 

k,m−1

 

 

 

 

 

k,m−1

 

 

 

 

 

 

f

k+l,m−1

= (h

 

 

+ h

p+l,m−1

) / 2 − j(h

 

 

−h

p+l,m−1

) / 2 (**)

 

 

 

k+l,m−1

 

 

 

 

k+l,m−1

 

 

 

 

 

fk,m = (hk,m + hp,m) / 2 − j(hk,m −hp,m) / 2

 

 

 

 

(***)

 

подставим (*), (**) и (***) в формулу (1) выражения (8.20) и получим:

 

(hk ,m + hp,m ) − j(hk ,m − hp,m ) = [(hk ,m−1 + hp,m−1 ) − j(hk ,m−1 − hp,m−1 )]+

 

+ [(h

 

+ h

p+l,m−1

)

− j(h

 

 

− h

p+l,m−1

)]

cos 2πk

− j sin

2πk

(8.21)

k+l,m−1

 

 

 

 

 

 

k+l,m−1

 

 

 

 

 

Nm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nm

 

В свою очередь, из выражения (8.21) можно получить выражения для

hk,m −hp,m = (hk,m−1 −hp,m−1)+(hk+l,m−1 +hp+l,m−1)sin

 

2πk

+(hk+l,m−1 +hp+l,m−1)cos

2πk

 

 

 

 

Nm

 

 

 

 

 

 

 

Nm

2πk

 

 

 

 

 

2πk

(hk,m +hp,m)= (hk,m−1 +hp,m−1)+(hk+1,m−1 +hp+l,m−1)cos

−(hk+l,m−1 −hp+l,m−1)sin

 

Nm

 

Nm

 

 

 

 

 

2πk

 

 

 

 

2πk

 

 

 

 

hk,m = hk,m−1 +hk+l,m−1 cos

 

+hp+l,m−1 sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nm

 

 

 

действительной и мнимой частей:

 

 

Nm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложив выражения (3.22) и (3.23), можно получить:

 

 

 

Заметим, что (p+l)mod l≡p, откуда следует:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

= h

+ h

cos 2πk

+ h

p,m−1

sin

πk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k+m

k ,m−1

k+l,m−1

Nm

 

 

 

 

Nm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проделав аналогичные выкладки, можно получить, что:

(323.)

(322.)

(8.24)

 

hk+l,m = hk,m−1

−hk+l,m−1 cos

2πk

−hp,m−1 sin

πk

(325.)

 

 

Nm

здесь p = l+(l-k)mod l,

 

 

Nm

 

Nm = 2m , e = r m−1 , k=(n)mod l , n -

текущий индекс элемента

вектора (n =

 

).

 

 

 

 

 

 

0, N −1

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

при

Nm = 2m “бабочка” БПХ подобна “бабочке” БПФ, но

обладает следующим отличием: правило вычисления индекса элемента синусной компоненты иное, чем у индекса косинусного элемента. Индекс же элемента косинусной компоненты и “свободной” компоненты, а также индекса у результирующего элемента и аргументы косинуса и синуса вычисляются так же, как и для “бабочки” БПФ [21].

На рис. 8.7. приведен граф базовой операции бабочка для алгоритма БПХ.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности