96

где l – номер этапа вычисления кратковременного ДПФ при сдвиге окна на один отсчет.

Во время вычисления кратковременного ДПФ при сдвиге окна необходимо выполнить только N базовых операций. Вычислительная сложность этого алгоритма QКДПФ = N БО2.

6.7. Выполнение фильтрации в частотной области

Идея частотной фильтрации основана на отличии спектров полезного сигнала и помехи [5,16,17]. При этом используются линейные частотные фильтры, позволяющие подавлять помеху и улучшать тем самым соотношение сигнал/помеха. Параметры фильтра определяются спектральными характеристиками сигнала и помехи. На практике наиболее часто встречаются следующие случаи.

1) На вход фильтра поступает узкополосный сигнал и широкополосная помеха. В этом случае эффективен узкополосный фильтр с полосой пропускания ∆ωх;

2) На вход фильтра поступает широкополосный сигнал и узкополосная помеха с шириной спектра ∆ωr . Для подавления подобной помехи фильтр должен обеспечивать подавление помехи в полосе ∆ωr;

3) На вход фильтра поступают периодический сигнал и широкополосная помеха.

Рассмотрим случай, когда полезный сигнал является гармоническим, а помеха типа белого шума. Для выделения полезного сигнала в этом случае должен быть использован узкополосный фильтр, настроенный на частоту сигнала. Отношение мощности сигнала к мощности помехи на выходе фильтра при этом

где Р0 - средняя мощность помехи, приходящаяся на единицу полосы; ∆ωф -

пропускания фильтра ∆fф.

В реальных условиях полезный сигнал поступает лишь в течении определенного времени Тх и, следовательно, его спектр неограничен.

Известно, что практическая ширина спектра такого сигнала связана с его длительностью соотношением

где µ - постоянная, зависящая от формы сигнала. Обычно принимается µ 1.

2 Второе и следующие окна.

97

Длительность сигнала Тх должна быть выбрана такой, чтобы его спектр был не шире полосы пропускания фильтра ∆fх≤∆fф.

Подставляя в (6.27) вместо ∆fф величину ∆fх, получаем

Формула (6.28) показывает, что увеличение отношения сигнал/помеха достигается за счет увеличения длительности сигнала Тх, т.е. времени наблюдения.

Таким образом, при частотной фильтрации улучшение отношения сигнал/помеха окупается ценой увеличения времени наблюдения сигнала.

Кроме указанных видов фильтров в частотной области может выполняться линейная фильтрация более общего вида, описываемая выражением типа свертки. Схема выполнения фильтрации сигнала в частотной области приведена на рис. 6.6. Обобщенно подобный метод частотной фильтрации иногда называют операционной частотной фильтрацией. Таким методом можно выполнять заданные математические преобразования исходного сигнала, например, дифференцирование или интегрирование [14, 25].

Рис.6.6. Схема операционной частотной фильтрации

Согласованные фильтры предназначены для выделения сигналов известной формы на фоне шумов. Критерием оптимальности таких фильтров является получение на выходе максимально возможного отношения амплитудного значения сигнала к действующему значению помехи [25]. Реакция согласованного фильтра эквивалентна действию корреляционного приемника. Схема выполнения согласованной фильтрации приведена рис. 6.7.

Рис. 6.7. Схема выполнения согласованной фильтрации

Для выделения известного сигнала S(t) из стационарного шума n(t) оптимальным является фильтр с передаточной функцией [17, 25]:

98

S(*) (ω ) - сопряженный спектр Фурье ( или Фурье образ ) исходного сигнала, N (ω) 2 - спектральная плотность шума, ω=2πν. Этот фильтр носит название

согласованного фильтра.

Если нужно минимизировать среднеквадратичную ошибку восстановленного сигнала, то:

сигнала,ϕn - спектр мощности шума.

При отсутствии шума для минимизации среднеквадратичной погрешности используется инверсный фильтр [28]:

−ω0 0 ω0

2) Фильтры верхних частот (ФВЧ) hight-pass filter

−ω0 0 ω0

3) Полосовые фильтры (ПФ) band-pass filter

100

Использование алгоритма Герцеля сокращает количество операций и экономит время [11,20]. Для вычисления ДПФ, необходимо вычислить большое количество комплексных коэффициентов. Для ДПФ размером N используется N2 комплексных коэффициентов. При использовании алгоритма Герцеля понадобится всего два коэффициента для каждой частоты: один вещественный и один комплексный.

Алгоритм Герцеля можно алгебраически модифицировать, так что результат будем брать в квадрате (тем самым избавляясь от комплексной составляющей). Такая модификация исключает фазовую составляющую, которая не используется во многих реальных приложения. Так, например, алгоритм Герцеля широко используется для распознавания DTMF сигналов в телефонии. К достоинствам данной модификации можно отнести наличие только одного вещественного коэффициента.

Алгоритм Герцеля позволяет обрабатывать данные в темпе их поступления, при этом нет необходимости ждать, пока заполнится буфер из N элементов. Схема такого преобразования представлена на рис. 6.8.

Рис. 6.8 Структурная схема фильтра, реализующего алгоритма Герцеля

Фильтр, реализующий подобный алгоритм может быть представлен, как БИХ фильтр второго порядка.

Алгоритм Герцеля может быть использован для подсчета ДПФ. Однако, его реализация имеет много общего с фильтрами. ДПФ или БПФ получают результат размерности N из исходных данных размерности N. Но фильтры БИХ и КИХ получают новое значение на выходе, как только получают новые данные на входе. Алгоритм вычисляет новое значение yk(n) (см. рис.), для каждого нового x(n). Результат вычисления ДПФ X(k) будет равен yk(n), если n = N. Так как каждое новое значение yk(n) (где n ≠ N ) не ведет к получению конечного результата X(k), нет необходимости вычислять yk(n) до тех пор пока n = N. Это подразумевает, что алгоритм Герцеля функционально эквивалентен БИХ

101

фильтру второго порядка за исключением того, что выходной результат фильтра появляется только после N отсчетов данных.

В фильтре Герцеля Вычисления можно выделить две части - правую

(рис.6.9) и левую (рис. 6.10).

Рис. 6.9. Левая часть фильтра, реализующего алгоритм Герцеля.

В этой схеме при выполнении вычислений вида

Qk (n) = coefk ×Qk (n −1) −Qk (n − 2) + x(n)

два промежуточных значения Qk (−1) = 0 ; Qk (−2) = 0 ; n = 0,1,2,..., N −1 хранятся в памяти , а coefk = 2cos(2πk / N) ;.

Для каждого нового отсчета x(n) Q(n −1) и Q(n − 2) считываются из памяти данных и используются для вычисления нового значения Q(n) .

Рис. 6.10. Правая часть схемы фильтра, реализующего алгоритм Герцеля.