Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Цифровая обработка сигналов.pdf

Скачиваний:

476

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

1.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

6.1. Дискретное преобразование Фурье

Перейдём от интегрального преобразования Фурье (2.3) к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), при условии что точки дискретизации выбраны согласно теореме отсчётов (теоремы Котельникова) [5,21]:

N −1

2xmax *k

F(∆ξ) = ∑x(k∆x)δ (x − k∆x) * e− j 2πk∆ξ∆x = ∑xk e

− j 2π

2xmax n =

k=0

N −1

− j

2π

= k * ∑xk * e

k=0

2xmax

= ∆x

где

(6.1)

= ∆ξ

2xmax

Тогда нетрудно получить, что

∆x * ∆ξ = N1

Подобным же образом можно получить и для обратного преобразования

j 2π nm

xm = k∑Fn * e N

k = 1N

Заметим, что происхождение множителя k = 1N

(6.2)

связано с заменой при

дискретизации согласно теореме Котельникова восстанавливающую функцию в (6.2) на “гребёнку” отсчётов.

Таким образом, в матричной форме:

		F =	1			EN X		(6.3)

				N
				N
	W 0	W 0				W 0	...	W 0
	W 0	W 0				W 0	...	W 0
	W 0	W 1				W 2	...	W N −1
EN =	W 0	W 2				W 4	...	W 2( N −1)
EN =	W 0	W 3				W 6	...	W 3( N −1)
	W 0	W 3				W 6	...	W 3( N −1)
	...	...			...		...	...
	W 0	W N −1				W 2( N −1)	...	W ( N −1)(N −1)

где W k = e− j2π k N , а сама матрица ядра ДПФ носит название матрицы дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ). При этом строки матрицы определяют набор ортогональных функций или базис разложения.

При выполнении преобразования Фурье строки матрицы ядра задают набор ортогональных функций, по которым выполняется разложение исходного

сигнала. Каждый элемент вектора результата определяет вклад соответствующей ортогональной функции в формирование исходного сигнала.

Для преобразования Фурье, как и для любого ортогонального преобразования, матрица ядра преобразования EN обратима (т.е. определитель

отличен от “0”) , что позволяет выполнить как прямое, так и обратное преобразования:

					F =			1				EN X

									N
									N						(6.4),
								1							(6.4),
												−1
												−1
					X =				N			EN	F
									N
							1			0	0		...	0
							1			0	0		...	0
	1			1			0			1 0			...	0
поскольку	1	EN * EN−1	=	1	I N =		0			0	1		...	0
поскольку		EN * EN−1	=	N	I N =		0			0	1		...	0
	N			N			... ... ... ... ...
							... ... ... ... ...
							0			0	0		...	1
При	этом матрица					ядра						обратного преобразования			обладает
свойствомEN−1 ≡ EN ,			где		EN			-		эрмитово-сопряжённая матрица.					Понятие

эрмитово-сопряженной матрицы предусматривает, что матрица обратного преобразования является транспонированной по отношению к EN и элементы

её есть комплексно сопряжённые к Wij .

Рассмотрим основные свойства матрицы ядра преобразования EN . Коэффициенты такой матрицы обладают следующими свойствами:

1)цикличностью: W k +N ≡W k или W −k ≡W N −k

2)мультипликативностью W k +m ≡W k *Wm

Из указанных свойств следует, матрица EN из N2 элементов содержит только N попарно различных элементов.

3) симметричностью Wij ≡ Wji

Рассмотрим примеры матрицы EN для некоторых N:
N=2		1	1
E2 =		1	1
		1	−1
N=3
	W0		W0	W0
	W0		W0	W0
E3 =	W0		W1	W2
	W0		W2	W1

W4 ≡W3+1 ≡W1

N=4

− j

−1

− j

и, наконец, для N=8

(1− j)

− j

−

(1+ j) −1

(−1+ j)

(1+ j)

− j

−1

− j

−1

−

(1+ j)

(1− j)

−1

(1+ j)

− j

(−1+ j)

E8 =

2 −1

−1

(1− j)

(1+ j)

−1

(1− j)

− j

(−1− j)

−1

− j

−1

− j

(1+ j)

(−1+ j) −1

−

(1+ j)

− j

(1− j)

6.2. Дискретное преобразование Хартли

Дискретное преобразование Хартли имеет вид [3]:

- прямое преобразование

2πkn =

N −1

hn = ∑xk cos 2πkn

+ sin

∑xk cas 2πkn

(6.5)

k =0

cas[...] = cos[...] + sin[...]

- обратное преобразование

N −1

2πnm

xm = ∑hncas

n=0

Матрица ядра преобразования Хартли может быть записана как:

...

CN −1

CN =

...

C2( N −1)

...

CN −1

C2( N −1)

...

C( N −1)2

где Ck = cas 2Nπk , причемC0 ≡ 1

Матрица ядра преобразования обладает следующими свойствами:

1)цикличностью Ck + N ≡ Ck ; CN −k ≡ C−k ;

2)отсутствием мультипликативности, т.е.: Ck +l ≠ Ck * Cl

3)симметричностью Cij ≡ Cji

Отсюда следует, что обратная матрица CN−1 ≡ CN , поскольку CN ≡ CNT .

4) из свойства цикличности следует, что в матрице CN имеется лишь N различных между собой коэффициентов Cij из N 2

Для N =2, N=4 и N = 8 матрицы ядра преобразования будут иметь вид:

								1	1
		N =2				C2 =		1	1			= E2
								1	− 1
						1	1		1			1
						1	1		1			1
N=4			C4 =			1	1		− 1			− 1	≠ E4
						1	− 1		1			− 1
						1	− 1		− 1			1
		1	1				1		1			1		1			1	1
		1	1				1		1			1		1			1	1
		1					1		0			− 1 −					− 1	0
		1		2			1		0			− 1 −				2	− 1	0
		1	1				− 1		− 1			1		1			− 1	− 1
N = 8 C =	1		0				− 1					− 1		0			1	−
N = 8 C =	1		0				− 1			2		− 1		0			1	−		2
8		1	− 1				1		− 1			1		− 1			1	− 1
		1	− 1				1		− 1			1		− 1			1	− 1
		1	−				1		0			− 1					− 1	0
		1	−		2		1		0			− 1			2		− 1	0
		1	− 1				− 1		1			1		− 1			− 1	1
		1	0				− 1 −					− 1		0			1
		1	0				− 1 −				2	− 1		0			1		2

Таким образом, в отличии от матрицы ДЭФ, матрица ядра преобразования Хартли содержит коэффициенты, большие единицы.

6.3. Двумерные дискретные преобразования Фурье и Хартли

Для обработки двумерных сигналов, в частности, изображений, широко используются двумерные спектральные преобразования. Двумерное дискретное преобразование Фурье имеет вид [7, 21]:

N−1 N−1	− j	2π	[km+ln]

fk,l = ∑∑xm,ne		N		(6.6)

m=0 n=0

Поскольку ядро преобразования Фурье является разделимым по переменным интегрирования, то для выполнения двумерного ДПФ на практике используется строчно-столбцовый метод.

Действительно,

− j

2π[km+ln]

= e

− j

2π km

− j

2π ln

откуда получаем с учетом (2.16):

N−1

− j

2π km

− j

2π ln

fk,l = ∑

∑xmne

n=0

m=0

Введя обозначение

N−1		2π
fk,l = ∑xmne	− j	N km	(6.7)

m=0

получим:

N−1		2π	ln .
fk,l = ∑ fk,le	− j	N	ln .	(6.8)
n=0
Согласно такому подходу, вначале выполняются				одномерные ДПФ по

строкам матрицы с отсчетами изображения, а затем выполняются одномерные ДПФ по столбцам матрицы промежуточных результатов, представляющих

собой одномерные спектры по строкам изображения. В матричном виде это может быть записано следующим образом [7]:

FN = [EN X N ]EN

(6.9).

Из (2.19) следует, что двумерное ДПФ сводится вначале к одномерному ДПФ матрицы X по столбцам, а затем к одномерному ДПФ по строкам

матрицы промежуточных результатов FN .

Сложность вычислений на первом этапе составит N раз по N2 базовых операций, под которыми понимаются операции вычисления выражения под

знаком суммы в (6.7) и (6.8), и столько же на втором, откуда: QДПФ			= 2N3 (Б.О.)
В то же время непосредственные вычисления двумерного ДПФ по
формуле (2.16) требуют вычислительных затрат:		Q1ДПФ = N4 (Б.О.)
		2
Таким образом, строчно-столбцовый метод		позволят	существенно
снизить вычислительную	сложность алгоритма	двумерного ДПФ с N 4 до
2N 3 операций умножения.	Вычисление одномерного ДПФ по		каждой из

координат преобразование выполняется на основе процедуры быстрого преобразования Фурье. Такой подход, однако, требует выполнения дополнительной процедуры транспонирования матрицы промежуточных результатов после выполнения обработки по одной из координат матрицы. При этом преобразование по следующей координате может выполняться только после того, как сформирована вся матрица промежуточных результатов и выполнено ее транспонирование.

Поэтому использование свойства разделимости ядра двумерного ДПФ по переменным суммирования приводит к снижению сложности вычислений в N/2 раз.

Однако далеко не все ядра двумерных спектральных ортогональных преобразований в явном виде обладают свойством разделимости. К таким преобразованиям относится, например, двумерное дискретное преобразование Хартли

[3]:

Hkl = ∑∑xmn[cas(2π(km+ln) / N ]

m n

где cas[...]= cos[...]+sin[...]

Рассмотрим применение специального или модифицированного преобразования Хартли, в котором искусственно выполнено разделение ядра по координатам [3]:

	kl	N	[	N	mn	]	(6.10)
	kl		[		mn	]
H	^	= ∑		∑ x	cas( 2πkm / N )	cas( 2π ln/ N )
	^
		n		m

Очевидно, что выражение (6.11) может быть представлено в виде:

H kl^ = ∑ [cos(2πkm / N ) + sin(2πkm / N )] *
	m

∑ xmn [cos(2π ln/ N ) + sin(2π ln/ N )]
n

Представляет интерес установить взаимосвязь между традиционным двумерным преобразованием Хартли (выражение (6.20)) и модифицированным преобразованием Хартли, определяемым согласно выражению (6.21). После ряда тригонометрических и алгебраических преобразований ядра в выраж е- нии (2.21) нетрудно получить [24]:

H kl = [H kl^ + H k^, −l + H −^k , l − H −^k , −l ]/ 2

(6.11)

где в силу цикличности ядра (N-k)modN = -k; (N-l)modN = -l.

От компонент спектра Хартли H kl можно перейти к компонентам спектра Фурье, используя известное соотношение:

Fkl = {[H kl + H −k , −l ]− j[H kl − H −k , −l ]} / 2

Если записать H −k , −l в виде, подобном выражению (6.12), то получим

выражение, определяющее связь между компонентами спектра Фурье и компонентами модифицированного преобразования Хартли:

Fkl = {[H k^, −l + H −^k , l ]− j[H k^, l − H −^k , −l ]}/ 2

(6.12)

Следует подчеркнуть, что определениеFkl как через традиционное, так и через модифицированное преобразование Хартли требует вычисления только лишь H kl или H kl^ соответственно. Остальные требуемые слагаемые легко

могут быть найдены путем перекомпоновки матрицы H kl или H kl^ Выражения (6.12) и (6.13) справедливы для любых действительных функ-

ций xmn . В частных случаях, когда xmn обладает симметрией относительно од-

ной или двух координат, эти выражения существенно упрощаются.

Пусть xmn = xm, −n Тогда H kl^ = H k^, −l , H −^k , −l = H −^k , l , а формулы

(6.12) и (6.13) приобретают вид:

H kl = H kl^

Fkl = {[H kl^ + H −^k , l ] − j[H k^, l − H −^k , l

]} / 2

Если xmn = x−m, n = xm, −n , то как преобразование Хартли, так и преоб-

разование Фурье эквивалентны модифицированному преобразованию Хартли:

H kl = H kl^ ; Fkl = H kl^

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.03.2016351.04 Кб28Функан расчет.pdf
#
16.09.2019701.44 Кб4хахаев.doc
#
25.08.2019375.3 Кб2хоз право.doc
#
20.03.2016350.26 Кб52Хрестоматия по Философии Часть 3Word.docx
#
20.03.2016453.72 Кб69ХС.docx
#
21.03.20161.87 Mб476Цифровая обработка сигналов.pdf
#
14.04.20156.57 Mб59Цифровая электроника.pdf
#
20.03.2016914.23 Кб6ЦКМ КР 26.05.docx
#
20.03.2016134.56 Кб25ЦОС_LR_2.docx
#
05.05.20192.11 Mб19Частотный и временной анализ стационарных и пер...doc
#
28.04.20191.76 Mб13часть 1.doc