110

7.2.4. Дискретное вейвлет-преобразование

Опишем ДВП в матричном виде, а затем – на основе банков фильтров, что наиболее часто используется при обработке сигналов.

В обоих случаях предполагают, что базисные функции φ(x) и ψ (x) компактно

определены. Это автоматически гарантирует финитность последовательностей hn и gn . Далее предположим, что сигнал, подвергаемый преобразованию, имеет

длину N = 2d , d Z + .

Обозначим через вектор ν j последовательность конечной длины c j,n для

ортонормированной, и обратная ей матрица равна транспонированной. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Возьмем фильтр

представлена в виде:

Обратное преобразование тогда выполняется как умножение ν j+1 на обратную матрицу MTj :

111

Таким образом, выражение (7.18) - это одна итерация (или один этап) ДВП. Полное ДВП заключается в итеративном умножении верхней половины вектора ν j+1 на квадратную матрицу M j+1 , размер которой 2d − j . Эта процедура

может повторяться d раз, пока длина вектора не станет равна 1.

В четвертой и восьмой строках матрицы (7.18) последовательность hn

циклически сдвинута: коэффициенты, выходящие за пределы матрицы справа, помещены в ту же строку слева.

Ранее рассматривалось субполосное преобразование, как фильтрация с последующим прореживанием в два раза. В данном случае имеется два фильтра hn и gn , т.е банк фильтров – двухполосный и может быть изображен, как

показано на рис.2.2.

Фильтры F и E означают фильтрацию фильтрами h−n и g−m ,

соответственно. В нижней ветви схемы выполняется низкочастотная фильтрация. В результате получается некоторая аппроксимация сигнала, лишенная деталей низкочастотная (НЧ) субполоса. В верхней части схемы выделяется высокочастотная (ВЧ) субполоса. Отметим, что при обработке сигналов константа 21/ 2 всегда выносится из банка фильтров и сигнал домножается на 2.

Итак, схема рис. 7.1 делит сигнал уровня j = 0 на два сигнала уровня j =1.

Далее, вейвлет-преобразование получается путем рекурсивного применения данной схемы к НЧ части. При осуществлении вейвлет-преобразования изображения каждая итерация алгоритма выполняется вначале к строкам, затем

– к столбцам изображения (строится так называемая пирамида Маллата).

Рис. 7.1. Схема двухполосного банка фильтров

112

7.2.4.1. Условия полного восстановления сигнала

Вейвлет-преобразование (ДВП) и субполосное кодирование - два популярных и очень похожих метода. В большинстве случаев используется двухканальная схема, в которой исходный сигнал делится на две субполосы, каждая вдвое меньше размером, чем исходная. В результате рекурсивного повторения этого процесса для обеих субполос получаем древовидное разбиение спектра на определенное количество уровней. Полное восстановление сигнала из субполос возможно лишь в отсутствие квантования коэффициентов. Однако и при квантовании коэффициентов можно построить схему, осуществляющую почти полное восстановление. Полное восстановление зависит от выполнения двух условий:

•соответствующего расчета фильтров анализа и синтеза;

•соответствующего продолжения сигнала конечной длины после границы. На каждом уровне древовидного ДВП сигнал должен быть четной

длины. Если она нечетная, то после прореживания мы либо потеряем какую-то информацию, либо добавим один лишний отсчет. Поэтому для дерева глубиной d необходимо иметь сигнал длиной 2d . В противном случае он удлиняется некоторым образом до этого размера. На рис. 7.2(а) показано, как сигнал длиной 67 должен быть увеличен до длины 72 для построения дерева глубиной 3. Ясно, что декомпозиция, представленная на рис. 7.2 (б) лучше подходит для целей кодирования, так как не увеличивается количество отсчетов. Такая декомпозиция возможна с сохранением свойства полного восстановления.

Сигнал

67

Расшир. сигнал

Уровень 1

Сигнал Уровень 2 8

Уровень 1 Уровень 3

Уровень 2

(а)

Уровень 3

(б)

Рис. 7.2. Трехуровневая декомпозиция сигнала длиной 67 отсчетов: (а) обычный способ; (б) эффективный способ