А.Г. Галкин - Надежность и диагностика систем

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

из них приведет к перегрузке оставшегося. Перегрузка потребует либо снизить нагрузки, либо ограничить время питания потребителей. В этом случае пропускная способность одного элемента (трансформатора) меньше единицы.

При расчете структурной надежности пропускная способность каждого элемента считается равной единице.

Для расчета структурной надежности систем необходимо правильно составить структурную схему надежности. Под структурной схемой надежности понимается наглядное (графическое) представление условий, при которых работает или не работает исследуемая система. Для составления схемы анализируют процесс функционирования системы, изучают функциональные связи между элементами, виды отказов. Такое исследование требует высокой инженерной и математической эрудиции. Степень дробления системы на элементы зависит от конкретной задачи расчетов. Например, преобразовательный агрегат может быть разделен на выпрямительный шкаф, трансформатор, шкаф RC и разрядники или до отдельных вентилей. Важно при составлении структурной схемы надежности не забывать о соединениях (особенно электрических) между элементами и включать их в схему в качестве отдельных элементов.

Предполагается, что показатели надежности всех элементов известны или могут быть рассчитаны как на основе параметрических, так и непараметрических моделей отказов. Элементы системы могут быть как восстанавливаемыми, так и невосстанавливаемыми. Если система восстанавливаемая, то в результате можно получить показатели готовности. Ниже, если специально будет не оговорено, рассматриваются системы с независимыми и полными отказами элементов.

Простейшей формой структурной схемы надежности является парал-

лельно - последовательная структура. На ней параллельно соединяются элементы, совместный отказ которых приводит к отказу системы. В последовательную цепочку соединяются такие элементы, отказ каждого из которых приводит к отказу объекта. Не всегда тип соединения по надежности совпадает с типом электрического (или механического) соединения. Например, рассмотрим гирлянду изоляторов. Электрически и механически элементы (изоляторы) такой системы (гирлянды) соединены последовательно. Если рассматриваются отказы типа "механический обрыв", то в этом случае соединение элементов (изоляторов) по надежности будет также последовательным. Ибо обрыв одного изолятора приводит к расцеплению (отказу) всей гирлянды (системы). Но если рассматривается в той же гирлянде отказ типа "пробой" изолятора, то соединение по надежности уже будет параллельным, т. к. пробой одного изолятора не приводит к отказу всей гирлянды.

К сожалению, не всегда удается условие работоспособности системы представить в виде простой параллельно - последовательной структуры.

81

1.4.1. Особенности расчета надежности систем

Иногда структура приобретает чрезвычайно громоздкий вид. В таких случаях используют либо логические функции, либо графы и ветвящиеся структуры, по которым составляются системы уравнений работоспособности.

1.4.2. Последовательное (по надежности) соединение

Последовательное соединение (Рис. 1.17) соответствует случаю, когда при отказе любого элемента отказывает вся система. Наработка до отказа такой системы равна наработке до отказа того элемента, у которого она оказалась минимальной.

TC min(Ti), для i 1, 2 ... n,

где n - число элементов в системе.

Пример для системы из трех элементов показан на рис. 1.17, б). Вероятность безотказной работы (функция надежности

невосстанавливаемой системы) равна произведению вероятностей безотказной работы элементов:

где Fi(t) - функция надежности i-го элемента.

Для элемента с отказами двух типов – короткое замыкание или обрыв, например вентилей, можно записать

F(t) = Fкз(t) F0(t),

где Fкз(t) – функция надежности по отсутствию короткого замыкания; F0(t) – функция надежности по отсутствию обрыва.

Для восстанавливаемой системы показатели готовности имеют вид:

82

Рис. 1.17

83

1.4.2. Последовательное (по надежности) соединение

Для невосстанавливаемых систем можно записать

где i(t) - интенсивность отказов i-го элемента.

По аналогии для восстанавливаемой системы параметр потока отказов:

где Ti - математическое ожидание наработки до отказа i-го элемента. Надежность системы с последовательным соединением зависит не

только от уровня надежности элементов, но и от их числа.

Зависимости вероятностей безотказной работы системы с последовательным соединением равнонадежных элементов для трех различных значений функций надежности каждого элемента показаны на рис. 1.17, в). Из рисунка можно сделать вывод, что надежность системы с последовательным соединением элементов можно увеличить за счет уменьшения числа последовательно соединенных элементов и за счет повышения надежности каждого из них. Очевидно, что с увеличением числа элементов вероятность безотказной работы уменьшается.

84

1.4.РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

1.4.3.Параллельное (по надежности) соединение

Рис. 1.18 85

1.4.3. Параллельное (по надежности) соединение

TC max(Ti), для i 1, 2 ... k,

Пример для системы из трех элементов показан на рис. 1.18, б). Вероятность отказа системы равна произведению вероятностей отказов

элементов.

Функция ненадежности системы:

i 1

Аналогичного вида формулы можно записать для показателей готовности восстанавливаемой системы.

В общем случае математическое ожидание наработки до отказа системы

Для системы из двух элементов с постоянными интенсивностями

отказов 1 и 2 можно записать

86

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

Для системы из к равнонадежных элементов с постоянной

Для восстанавливаемой системы с равнонадежными элементами с постоянными параметрами потока отказов применима такая же формула.

Интенсивность отказов системы в общем виде

Из полученной формулы можно сделать важный вывод о том, что интенсивность отказов системы с параллельным соединением зависит от наработки, даже если у всех элементов, входящих в систему, интенсивности отказов постоянны. Параллельное соединение элементов применяется для повышения надежности системы, однако, есть две причины затрудняющие достижение желаемого результата. Первая причина - это большие трудности, возникающие при проектировании систем с параллельным соединением элементов, особенно механического типа. Вторая причина заключается в существенно нелинейной зависимости вероятности безотказной работы системы от числа параллельно включенных элементов. Сказанное поясняет рис. 1.18, в). Чем больше увеличивается число параллельных цепей, тем медленнее растет вероятность безотказной работы. На рисунке показано, что после подключения четвертого параллельного элемента прирост надежности системы исключительно мал. Поэтому, увеличение числа параллельно включенных элементов может оказаться менее выгодным по сравнению с установкой более надежного элемента. Хотя и это понятие относительно. Если рассматривать не вероятность безотказной работы, а вероятность отказа, то выигрыш будет значительным. Например, если разница между значениями вероятности безотказной работы при разных числах параллельно включенных элементов составляет 0,99 и 0,9999 (не так уж много), то разница в вероятностях отказов составит 0,01 и 0,0001 - это 100 раз.

87

1.4.3. Параллельное (по надежности) соединение

Пример:

Рассчитать надежность системы, имеющей параллельно - последовательную структуру, показанную на рис. 1.19. Известны вероятности безотказной работы элементов.

F1 = 0,6; F2 = 0,5; F3 = 0,8; F4 = 0,7; F5 = 0,9.

Пример расчета параллельно-последовательной структуры

1

1-2

Рис. 1.19

Решение:

Вероятность безотказного состояния подсистемы 1-2 (параллельное соединение) (Рис. 1.19, а)

F12 1 (1 F1) (1 F2) 1 (1 0,6)(1 0,5) 0,8.

Вероятность безотказного состояния подсистемы 3-4 (последовательное соединение) (Рис. 1.19, а)

F34 F3 F4 0,8 0,7 0,56.

Составляем промежуточную схему, которая показана на рис. 1.19, б). Из нее видно, что подсистемы 1-2 и 3-4 образуют параллельное соединение. Поэтому вероятность безотказного состояния подсистемы 1-2-3-4 будет

F1234 1 (1 F12) (1 F34) 1 (1 0,8) (1 0,56) 0,912.

Подсистема 1-2-3-4 и элемент 5 соединены последовательно, поэтому

FC F12345 F1234 F5 0,912 0,9 0,8208.

88

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

1.4.4. Преобразование сложных структур

Не всегда условие работоспособности можно представить параллельно - последовательной структурой. В этом случае можно сложную структуру заменить на эквивалентную ей последовательно - параллельную структуру. Для этого применяется преобразование "треугольник - звезда" и обратное. Метод заключается в том, что узел сложной конфигурации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом характеристики нового узла должны быть такими, чтобы показатели надежности преобразованной цепи сохранились прежними.

Допустим, требуется заменить треугольник звездой (Рис. 1.20).

Преобразование "треугольник-звезда"

Вероятность безотказной работы цепи 1-2 (вероятность успешной передачи сигнала из точки 1 в точку 2) выразим поочередно через вероятности отказа элементов звезды и треугольника; для звезды

F1 2 (1 Q1) (1 Q2),

для треугольника

F1 2 1 Q12 Q132,

где Q132 - вероятность отказа цепи 1-3-2

Q132 1 (1 Q13) (1 Q23),

перепишем для треугольника

89

1.4.4. Преобразование сложных структур

F1 2 1 Q12 1 (1 Q13) (1 Q23) .

Приравняем вероятности F1-2 для звезды и треугольника

(1 Q1)(1 Q2) 1 Q12 1 (1 Q13)(1 Q23) .

После раскрытия скобок и группировки имеем

Q1 Q2 Q1 Q2 Q12(Q23 Q31 Q23 Q31).

Аналогично можно вывести уравнения для двух других цепей

Q2 Q3 Q2 Q3 Q23(Q13 Q12 Q31 Q12);

Q3 Q1 Q3 Q1 Q31(Q12 Q23 Q12 Q23).

Если пренебречь произведениями вида Qi Qj и Q12 Q31 Q23, то в результате решения системы уравнений можно записать:

Q1 Q12 Q31;

Для преобразования звезды в треугольник

Q12 Q1 Q2 /Q3 ;

Q31 Q1 Q3 /Q2 .

Следует отметить, что полученные выражения приближенные, из-за неучета указанных произведений. Поэтому при некоторых сочетаниях исходных данных возможны значительные погрешности, например,

вероятность Qij может оказаться больше единицы, что противоречит здравому смыслу. В такой ситуации можно предложить два выхода - попытаться как-то иначе преобразовать систему, или использовать точные уравнения.

90