А.Г. Галкин - Надежность и диагностика систем

1.6. РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

Определим нормированные показатели (см. прил. 1)

1 32 / 32 02 /0,2853 0,2 4/ 22 0,243/0,2852 3.

Определим оценки искомых процентилей

UH( %) ( P 100),

100

где P - заданный процент отклонений.

UH( 20%) 4,31( 20 100) 3,45 B.

100

UH( 20%) 4,31(20 100) = 5,17 B.

100

Вычислим соответствующие процентили распределения

Z UH( %) .

Z ( 20%) 3,45 4,31 1,61. 0,534

Z ( 20%) 5,17 4,31 1,61. 0,534

Затем по известным процентилям распределения Пирсона определим вероятности непревышения границ. Для этого можно воспользоваться таблицами распределения Пирсона, или рассчитать вероятности аналитически.

Для рассчитанных процентилей получаем:

P UH UH( 20%) 0,045.

161

1.6.2. Расчет надежности уровня напряжения в контактной сети

P UH UH( 20%) 0,955.

Таким образом, вероятность того, что напряжение на нагрузке выйдет за допустимые границы и произойдет отказ в функционировании схемы электроснабжения составляет:

Q P UH UH( 20%) 1 P UH UH( 20%) 0045, 1 0955, 009,.

Значение совпадает с результатом полученным методом Монте-Карло. В данном конкретном случае необязательно было прибегать к распределению Пирсона. Дело в том, что параметры всех элементов распределены по закону Гаусса. В этом случае, а также и при произвольных распределениях, но при большом числе независимых элементов, дисперсии которых соизмеримы, распределение параметров системы также стремится к закону Гаусса. Это следует из предельной теоремы (см. прил. 1). Действительно, если обратить

внимание на нормированные показатели 1 и 2 увидим, что распределение выходного параметра объекта точно соответствует распределению Гаусса. Воспользуемся нормированным распределением Гаусса. Процентили определены выше.

P UH UH( 20%) 0,045.

P UH U( 20%) 0,955.

Как видно, результат не изменился.

Задача решена двумя способами - моделированием методом МонтеКарло и методом получения моментов системы. Какой из них предпочтительней? Все зависит от конкретных условий.

Преимущества метода Монте-Карло:

простота построения модели даже для сложных систем;

можно увеличивать точность расчетов, увеличивая число испытаний;

возможность применения при взаимосвязанных параметрах элементов.

Недостатки метода Монте-Карло:

необходимо знать не только оценки параметров распределений, но и законы распределений;

часто нельзя определить, является ли какая - либо случайная величина преобладающей или более важной, чем другие;

162

1.6.РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

для моделирования сложных систем может потребоваться очень много машинного времени.

Преимущества метода получения моментов системы:

достаточно информации о моментах распределения параметров элементов;

точный расчет;

небольшие затраты машинного времени;

можно оценить влияние каждого элемента на выходной параметр объекта.

Недостатки метода получения моментов системы:

длительный вывод формул, для сложных объектов;

вычислительные трудности.

1.6.3.Расчет надежности уровня напряжения в контактной сети

Важно, чтобы напряжение на токоприемнике локомотива не опускалось ниже заданного уровня. Наиболее тяжелые условия будут у электровоза следующего по лимитирующему перегону. Можно сформулировать задачу расчета функциональной надежности. Функция системы электроснабжения - обеспечение на токоприемнике локомотива, движущегося по лимитирующему перегону, уровня напряжения не ниже заданного. Расчет функциональной надежности заключается в определении вероятности этого события.

Рассмотрим двухпутный участок (Рис. 1.36, а).

Условные обозначения соответствуют принятым в энергоснабженческих расчетах:

Ii - ток локомотива, движущегося по лимитирующему перегону;

I1 ... Ii, Ii+1 ... In - токи локомотивов, движущихся по тому же пути, той же фидерной зоны;

I - токи всех прочих локомотивов;i - длина лимитирующего перегона;

1 и 2 - координаты границ лимитирующего перегона относительно тяговых подстанций;

163

1.6.3. Расчет надежности уровня напряжения в контактной сети

Расчет уровня напряжения

б) электрическая схема

Рис. 1.36

Удобно схему представить в виде (Рис. 1.36, б). Здесь подстанции показаны как источники ЭДС UA и UБ с внутренними сопротивлениями r1 и r2. Сопротивления тяговой сети перегона, включающего лимитирующий, обозначены RTC 1 ... i, RTC i, RTC i ... m. Локомотивы заданы как источники тока Ij. Локомотив, движущийся по лимитирующему перегону, обозначен Ii. Все прочие локомотивы, получающие питание от других фидерных зон учтены эквивалентными источниками тока I'A и I'Б. Расчет схемы отличается

164

1.6. РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

от рассмотренного выше примера большей сложностью. Перечислим факторы, влияющие на уровень напряжения на токоприемнике локомотива, следующего по лимитирующему перегону:

1.Случайная ЭДС подстанций.

2.Профиль пути и связанная с ним диаграмма токов (в первом приближении за основу могут быть приняты тяговые расчеты).

3.Случайные тип, вес и число поездов.

4.Случайная скорость движения.

5.Случайное сопротивление движению.

6.Случайный режим ведения поезда локомотивной бригадой.

7.Случайные координаты нагрузок.

Строго говоря, большинство из перечисленных случайных факторов должно рассматриваться как случайные процессы в функции времени и (или) пути. Стационарность и эргодичность этих процессов, скорее всего, будет обеспечиваться далеко не всегда. Хотя время корреляции для некоторых процессов составляет десятки минут, в общем же случае оно будет не менее суток, а может быть, для отдельных расчетов, и не менее года.

Обычно для упрощения решения принимают ряд допущений приемлемых в конкретных задачах. Например, можно нагрузки слева и справа на рис. 1.36, б) принять детерминированными и равными их средним значениям. ЭДС подстанций считать случайными величинами, а не процессами, принимая, что ЭДС полностью определяется внешней энергосистемой. Токи тяговых нагрузок полностью определяются тяговым расчетом, случайными являются лишь тип и вес поезда. Число поездов на фидерной зоне подчиняется биномиальному закону распределения.

Рассмотрим ход решения задачи методом Монте-Карло. Пусть заданы:

длина фидерной зоны и координаты лимитирующего перегона;

диаграмма тяговых расчетов;

законы распределения ЭДС подстанций;

внутренние сопротивления тяговых подстанций;

отношение (доли) грузовых и пассажирских поездов;

закон распределения веса грузовых поездов;

погонное сопротивление тяговой сети;

минимальный межпоездной интервал;

размеры движения за расчетный период;

среднее значение токов других фидеров (I'A и I'Б).

Результаты тяговых расчетов должны быть представлены в виде трехмерного массива: ток I, путь L и время Т.

165

1.6.3. Расчет надежности уровня напряжения в контактной сети

Заполняем расчетный перегон тяговыми нагрузками. Порядок заполнения может быть следующим:

1.В начале рассматриваемого участка при Т = 0 "ставят" первый поезд.

2.Разыгрывают тип поезда. Пусть задано, что доля пассажирских поездов составляет 0,2, а грузовых – 0,8. Моделируется случайное число, имеющее равномерное значение в диапазоне от нуля до единицы. Если полученное значение не превышает 0,2, то поезду присваивается тип пассажирского. В противном случае поезд будет грузовым.

3.Если тип поезда пассажирский, то его вес принимается неслучайным

иравным заданному. Если поезд грузовой, то дополнительно моделируется величина веса поезда. Принимается, что время хода грузового поезда по участку не зависит от его веса.

4.По массиву I, L, T определяются координаты и ток первого поезда для Т = 0.

5.Разыгрывается тип и вес другого поезда.

6.Разыгрывается межпоездной интервал . Его величина не может

быть меньше минимального межпоездного интервала min. Если приращение межпоездного интервала к минимальному интервалу распределено по экспоненциальному закону, то закон распределения числа поездов на фидерной зоне будет соответствовать заданному. Поэтому значение межпоездного интервала может быть рассчитано по формуле

где - случайная величина межпоездного интервала;

min - минимальный межпоездной интервал;

P - вероятность нахождения поезда на условном перегоне; G - вероятность отсутствия поезда на условном перегоне;

где N0 - пропускная способность перегона.

Для получения случайного значения межпоездного интервала генерируется случайное число, равномерно распределенное в интервале от

нуля до единицы. Его значение принимается за вероятность Р( n min) и по приведенной выше формуле находится случайное значение межпоездного интервала

166

1.6. РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

Скорость движения пассажирских и грузовых поездов различна. Если не принять специальных мер, то при моделировании произойдет скрещение грузового и пассажирского поездов. Чтобы этого не произошло, должны выполняться два условия:

а) Минимальный межпоездной интервал должен выбираться с учетом типа поездов

min, если оба поезда одноготтипа

min min n гр,если поезда пассажирский-грузовой;

min гр n,если поезда грузовой-пассажирский.

б) Случайный межпоездной интервал между поездами различных типов не может быть меньше некоторого заданного значения . Интервал

- это интервал между грузовым и пассажирским поездами в начале

участка, определяемый как сумма разности времен хода грузового и пассажирского поездов до начала последнего, по ходу движения, перегона расчетной фидерной зоны и минимального интервала между грузовым пассажирским поездами для данного перегона.

7.Повторяют операции выбора типа и веса поездов, рассчитывают значение координаты времени i-го поезда

i

Ti j . j 1

Все операции повторяют до полного заполнения рассматриваемой зоны поездами.

8. По тяговым расчетам, задаваясь известными координатами времени,

Ti находят координаты пути Li и потребляемый ток Ii. Диаграммы тяговых расчетов различны для грузовых и пассажирских поездов. Влияние веса грузового поезда учитывают с помощью эмпирической формулы

167

1.6.3. Расчет надежности уровня напряжения в контактной сети

где Wi - вес i-го поезда;

WP - вес поезда, для которого получены диаграммы тяговых расчетов; IP - ток расчетного поезда.

Можно сделать тяговые расчеты для различных весов поезда и составить массив данных с учетом веса поезда.

Затем приступают к моделированию движения поездов.

9.Разыгрывается межпоездной интервал до захода очередного поезда на расчетный перегон.

10.Все поезда сдвигаются во времени с шагом, например, в одну минуту, и на каждом шаге рассчитываются мгновенные схемы по принятой методике. Мгновенный уровень напряжения на токоприемнике электровоза, движущегося лимитирующему перегону по автоматической характеристике, находится по формуле:

где U0 - напряжение холостого хода подстанции;

Un - потеря напряжения на внутреннем сопротивлении подстанции; UTCi - потеря напряжения в тяговой сети до i-го поезда.

где RП - внутреннее эквивалентное сопротивление подстанции; IП - ток фидеров.

Например, для подстанции А (Рис. 1.36)

UA RA (I'A IA),

где I'A - суммарный ток фидеров, кроме расчетного; IA - ток расчетного фидера.

168

1.6. РАСЧЕТ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ

где L - длина фидерной зоны;

m - число тяговых нагрузок на фидерной зоне;

Ii - ток i-й нагрузки;

Li - координата пути i-й нагрузки;

UA и UБ - напряжение на шинах подстанций;

RТС - погонное сопротивление тяговой сети.

Потеря напряжения в тяговой сети относительно подстанции А

Расчеты проводятся только для поезда, находящегося на ограничивающем перегоне. Как только разыгранный межпоездной интервал исчерпывается, в начало расчетного перегона устанавливается новый поезд. Разыгрывается тип и вес поезда. Повторяются действия пунктов 9, 10. Число шагов выбирается таким, чтобы оценки показателей надежности имели заданный уровень значимости.

По полученным значениям потери напряжения UiA строится гистограмма и определяется оценка вероятности того, что напряжение на токоприемнике окажется ниже заданного уровня.

Пример:

Известна упрощенная диаграмма тяговых расчетов (Рис. 1.37).

Длина фидерной зоны 20 км, координаты начала лимитирующего перегона 8 км и окончания 12 км. Напряжения холостого хода тяговых подстанций являются независимыми случайными величинами, распределенными по усеченному распределению Гаусса с границами усечения 3200 U 4300, математическим ожиданием 3500 В и средним квадратическим отклонением 100 В. Внутренние сопротивления тяговых подстанций 0,0617 Ом. Погонное сопротивление тяговой сети

RТС = 0,057 Ом/км. Суммарные токи других фидеров тяговой подстанции 7000 А. Пассажирские поезда отсутствуют. Размеры движения - 40 пар поездов. Минимальный межпоездной интервал 8 мин. Распределение веса поездов представлено в табл. 1.14. Вес расчетного поезда 5500 т. Тип локомотивов ВЛ-10.

169

1.6.3. Расчет надежности уровня напряжения в контактной сети

Диаграмма тяговых расчетов

Расчеты выполнены с помощью программы из прил. 6. Гистограмма напряжений на токоприемнике электровоза, движущегося по лимитирующему перегону, представлена на рис. 1.38, а). Среднее значение напряжения 2817 В, среднее квадратическое отклонение 218 В. Вероятность того, что напряжение на токоприемнике окажется ниже уровня 2700 В составляет 0,3. Зависимости среднего значения напряжения, среднеквадратического отклонения и вероятности функционального отказа от дисперсии напряжения на подстанциях, размеров движения и минимального межпоездного интервала показаны на рис. 1.38, б) и 1.39.

170