А.Г. Галкин - Надежность и диагностика систем

1.3. ВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

t

Найдем предел функции готовности при t . Для этого воспользуемся узловой теоремой восстановления: если В(t) -

неотрицательная, не возрастающая функция, определенная при всех t и

В(t) < , то

где H(U) - функция восстановления (математическое ожидание числа отказов на интервале (0, U));

TK - математическое ожидание времени между событиями потока. Математическое ожидание случайной величины времени между

событиями потока

TK T0 TB.

Предел функции верятности безотказной работы

lim F(t) 0.

t

Предел параметра потока восстановлений

значению, называемому коэффициентом готовности kГ. Коэффициент готовности определяет вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. Коэффициент готовности можно понимать как долю времени, в течение которого объект работоспособен от общего времени эксплуатации объекта. Важно, что значение коэффициента

71

1.3.3. Объекты с конечным временем восстановления

готовности не зависит от законов распределения случайных величин наработки между отказами и времени восстановления.

Аналогично выводится уравнение для функции оперативной готовности Г(t, t + x). Функция оперативной готовности определяет вероятность того, что объект не только окажется работоспособен в момент времени t, но и проработает безотказно на заданном интервале (t, t + x).

где x - оперативное время.

Применение функции оперативной готовности как показателя надежности можно показать на примере устройств защиты и автоматики. Такие устройства имеют дежурный режим работы и должны не только оказаться работоспособными в момент повреждения или короткого замыкания, но и проработать безотказно до его устранения. Пределом функции оперативной готовности при t является коэффициент оперативной готовности.

В общем случае, для нахождения значений функций готовности, оперативной готовности и коэффициента оперативной готовности может потребоваться численное интегрирование. Для случая, когда время между отказами и время восстановления имеют экспоненциальные распределения получено:

72

1.3. ВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

Математическое ожидание времени безотказной работы (наработки между отказами)

Математическое ожидание времени между двумя событиями потока

(отказами или восстановлениями).

Пример:

Восстанавливаемый объект имеет экспоненциальные распределения наработки между отказами и времени восстановления с параметрами

соответственно 0 = 0,01 час и B = 0,5 час.

Требуется найти:

1)математические ожидания наработки между отказами, времени восстановления и времени между очередными событиями потока;

2)параметр потока восстановлений;

3)функцию готовности на интервале 0 ... 20 час;

4)коэффициент готовности;

5)функцию оперативной готовности на интервале 0 ... 20 часов при оперативном времени х = 10 часов;

Решение:

1) Математическое ожидание наработки между отказами при экспоненциальном законе распределения (см. прил. 1.2) будет равно

11

T0 0 0,01 100 час.

Математическое ожидание времени восстановления

73

1.3.3. Объекты с конечным временем восстановления

11

TB B 0,5 2час.

Математическое ожидание времени между очередными событиями потока

TK T0 TB 100 2 102 час.

2)Параметр потока восстановлений

4) Коэффициент готовности

kГ 0,5/(0,01 0,5) 0,9803.

5) Найдем функцию оперативной готовности для подстановки t = 5,

exp( 0,01 10) 0,8889.

6) Найдем коэффициент оперативной готовности для подстановки х = 10 час

k0Г(10) 0,5 exp( 0,01 10) 0,8871. 0,01 0,5

Остальные значения функциональных зависимостей могут быть определены по программе из прил. 6. Результаты расчетов представлены на рис. 1.16. Как видно из графиков, функции готовности и оперативной готовности с увеличением времени убывают и стремятся к установившимся значениям, соответственно, коэффициента готовности и коэффициента оперативной готовности. Функция оперативной готовности при равенстве оперативного времени нулю совпадает с функцией готовности.

74

Рис. 1.16

75

1.3.4. Оценки показателей надежности восстанавливаемых объектов

1.3.4. Оценки показателей надежности восстанавливаемых объектов

Оценка параметра потока событий (отказов или восстановлений) при условии, что все отказавшие объекты заменяются исправными или восстанавливаются, может быть найдена по формуле:

N t

где n(t, t + t) - число объектов, отказавших на интервале (t, t + t); N - общее число объектов;

t - продолжительность одного интервала наблюдений.

Оценка математического ожидания наработки между отказами, если наблюдение ведется за одним объектом:

где n - число отказов объекта за весь период наблюдений;

t0i - наработка объекта между i-1-м и i-м отказами.

Если испытываются несколько объектов, то наработка на отказ вычисляется так:

где €Tj - оценка математического ожидания наработки между отказами для

j-го объекта.

Математическое ожидание времени восстановления определяется по

тем же формулам, только вместо t0i подставляется время восстановления tBi. Оценка коэффициента готовности при испытаниях одного объекта

76

1.3. ВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

где t0i - наработка между i-1-м и i-м отказами; tBi - время восстановления после i-го отказа; n - число отказов за рассматриваемый период.

Оценка коэффициента готовности при испытаниях нескольких однотипных объектов

работоспособном состоянии;

Тэкс - продолжительность эксплуатации, состоящая из последовательно чередующихся интервалов времени работы и восстановления.

Для восстанавливаемых объектов иногда оценивается еще один показатель, называемый коэффициентом технического использования. Он рассчитывается по тем же формулам, что и оценка коэффициента готовности, но при этом учитываются все времена перерывов в работе, вызванные как отказами, так и другими остановками.

Пример:

Имеются данные эксперимента - наблюдения за отказами и восстановлениями одного объекта, представленные в табл. 1.6.

Таблица 1.6

Данные эксперимента

77

1.3.4. Оценки показателей надежности восстанавливаемых объектов

продолжение табл. 1.6

Требуется найти оценки:

1)математического ожидания наработки между отказами;

2)математического ожидания времени восстановления;

3)математического ожидания времени между событиями потока;

4)коэффициента готовности;

5)функциональной зависимости параметра потока восстановлений от наработки с интервалом времени в 1000 час.

Решение:

1. Оценка математического ожидания наработки между отказами

260 190 170 160 170 150 130 120 130 229,85 час. 20

2. Оценка математического ожидания времени восстановления

20

3. Оценка математического ожидания времени между событиями потока

TK TO TB 229,85 12,05 241,9 час.

4. Оценка коэффициента готовности

78

1.3. ВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

229,85

kГ 229,85 12,05 0,95.

5. Для нахождения оценки функциональной зависимости параметра потока восстановлений от наработки удобно вначале отложить все события потока на временной оси по виду рис. 1.13, б). У точек начала и окончания периодов наработки между отказами и времени восстановления необходимо подписать их временные координаты от начала испытаний. Временные координаты получаются суммированием всех временных промежутков наработки между отказами и времени восстановления всех событий, предыдущих рассматриваемому. Например, временная координата окончания восстановления после третьего отказа будет равна

383 10 270 14 325 10 1012 час.

Затем на полученной оси надо подсчитать число отказов или восстановлений в первую тысячу часов, во вторую и т. д.

Для первой тысячи часов получаем

Остальные результаты расчетов представлены в табл. 1.7. Удобно результаты представить и в виде ступенчатого графика t .

Таблица 1.7

Функциональная зависимость оценки параметра потока восстановлений от наработки

Особо следует отметить последний интервал, его продолжительность может оказаться меньше 1000 часов. В этом случае в формулу для оценки параметра потока восстановлений необходимо подставить соответствующее значение t.

79

1.4.1.Особенности расчета надежности систем

1.4.РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

1.4.1.Особенности расчета надежности систем

Пусть объект (система) состоит из отдельных элементов, пусть также известны показатели надежности каждого элемента. Тогда возникает задача расчета показателей надежности системы по известным показателям надежности элементов. Как отмечалось выше, здесь возможны два подхода - расчеты структурной и функциональной надежности систем. Деление по подходам чисто условное и отличается лишь количеством допущений и, следовательно, степенью сложности расчетов. При расчете функциональной надежности влияние надежности каждого элемента на систему рассматривается с учетом выполняемых им функций. Поэтому отказ некоторых элементов может приводить не к полному, а лишь к частичным отказам системы. В состояниях частичных отказов система продолжает работать с пониженными показателями качества функционирования. При расчете структурной надежности отказ любого элемента, если он хоть как-то влияет на пропускную способность системы, считается отказом всей системы.

Дадим определение пропускной способности объекта. Любой технический объект можно рассматривать как черный ящик, имеющий вход и выход. В общем случае, если объект исправен, то при подаче сигнала на вход, на выходе также обнаруживается сигнал. Например, устройство электроснабжения - тяговая подстанция. Сигнал - в данном случае это электрическая энергия. Если подстанция исправна, то при подаче напряжения на шины входного распредустройства, на шинах выходных распредустройств также появится напряжение. Если все элементы подстанции исправны, то количество электроэнергии, которое может она преобразовать, будет соответствовать паспортным (проектным) значениям. Соответствие паспортным значениям подразумевает соблюдение всех показателей качества функционирования. Теперь, если откажет система регулирования напряжения, то часть показателей качества функционирования будет нарушена. Будет нарушена частично и пропускная способность объекта "тяговая подстанция". Т. е. пропускная способность системы зависит от состояния элементов. При расчете функциональной надежности это событие классифицируется как частичный отказ, при расчете структурной надежности - отказ всей системы. Разную пропускную способность могут иметь и отдельные элементы. Так, например, нормальное электроснабжение потребителей может быть обеспечено только при параллельной работе двух трансформаторов. Отказ любого

80