А.Г. Галкин - Надежность и диагностика систем

1.4.РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

2.Не рассматриваются периоды приработки и старения, а только

период нормальной работы, следовательно i = const. Аналогичный подход может быть и в случае расчета с финальными вероятностями.

Потоки событий считаются ординарными. Рассматриваются только те объекты, у которых время восстановления много меньше времени наработки между отказами. Для таких объектов:

Q << F ;

4.Принимается, что невозможно одновременное нахождение в состояниях отказа более трех элементов. Тем самым исключаются из рассмотрения маловероятные состояния.

5.Учитываются не только аварийные отключения элементов системы электроснабжения, но и преднамеренные. Принимается, что во время преднамеренного отключения может произойти не более одного отказа других элементов.

Вводятся следующие понятия:

1.Схема полного отказа относительно узла - упрощенная схема исходной сети, учитывающая только те состояния системы, которые приводят к прекращению электроснабжения этого узла. Для составления такой схемы применяются методы структурного анализа сложных систем.

2.Схема одного состояния. Все последовательно соединенные (по надежности) элементы, от которых зависит передача электроэнергии к узлу, объединяются в один эквивалентный элемент.

3.Схема одного отказа. Рассматривается схема с отказом и восстановлением одного из n элементов, все прочие (n – 1), включенные с первым элементом последовательно, считаются работоспособными.

101

1.4.6.Расчет надежности сетей

4.Схема двух отказов. Рассматриваются состояния системы, два элемента (включенных последовательно) которой находятся в состояниях отказов. Общее число возможных состояний по схеме двух отказов

N2 C2n 0,5 (n 1) n.

Общее число возможных состояний по схемам одного и двух отказов (отказ не более двух элементов)

N N1 N2 C1n C2n 0,5n (n 1).

5.Путями схемы относительно узла нагрузки называются минимальные совокупности элементов, безотказные состояния которых обеспечивают передачу энергии к узлу. Например, для рис. 1.24, б) относительно узла нагрузки С возможен путь ЛЭП 3, ЛЭП 6 или другой путь ЛЭП 1, ЛЭП 8 или еще один ЛЭП 3, ЛЭП 5, ЛЭП 4, ЛЭП 8 и т. д. (Узлы при этом считаются абсолютно надежными, хотя и не обязательно).

6.Минимальными сечениями схемы называются совокупности минимального набора элементов, отказы которых приводят к прекращению передачи энергии к узлу. Например, для рис. 1.24, б) относительно узла

нагрузки С возможно минимальное сечение ЛЭП 3, ЛЭП 2, ЛЭП 1 или ЛЭП 6, ЛЭП 7, ЛЭП 8 и т. д. (узлы абсолютно надежны).

Для выделения схемы полного отказа можно использовать матрицы всех возможных путей и сечений. Принцип выделения таких схем можно показать на примере рис. 1.24, б). Для упрощения принимаем, что ЛЭП 2 и

Одноэлементное сечение образует тот элемент, у которого во всех строках единицы. В рассматриваемом примере таких элементов нет. Двухэлементные сечения образуют пары элементов, если при логическом сложении их столбцов получается столбец из одних единиц. Например, если

102

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

сложить столбцы ЛЭП 1 и 3 получается столбец, содержащий только единицы. Следовательно, ЛЭП 1 и ЛЭП 3 образуют двухэлементное сечение. Аналогичные рассуждения можно продолжить для трех-, четырехэлементных сечений. Но, исходя из выше перечисленных допущений, при расчете сетей рассматриваются только схемы одного или двух отказов.

Матрицу путей можно составить и с учетом надежности узлов, это приводит к тому, что число столбцов увеличится. Если сечения состоят из разных элементов, то они называются независимыми, в противном случае зависимыми.

Матрица сечений Ci

где Qi - вероятность отказа i-го одноэлементного сечения; K1 - число одноэлементных сечений;

Qij - вероятность отказа i-j-го двухэлементного сечения; K2 - число двухэлементных сечений;

Qijl - вероятность отказа i-j-l-го трехэлементного сечения; K3 - число трехэлементных сечений.

Для рассматриваемого примера без учета надежности узлов

K1 = 0; K2 = 2; K3 = 0.

Q13 Q1 Q3

Q68 Q6 Q8

103

1.4.6. Расчет надежности сетей

Т. к. рассматриваются установившиеся значения, то

Qi 1 kГi,

где kГi - коэффициент готовности i-го элемента.

Q13 Q68 0,0482 2,3 10 3,

QC 0 2 2,3 10 3 0 4,6 10 3,

FC 1 QC 1 4,6 10 3 0,995.

Учет преднамеренных отключений

Преднамеренные отключения задаются для каждого элемента сети в виде интенсивности прi и средней продолжительности преднамеренного

отключения прi.

Порядок расчетов следующий:

1.Выделяются группы по n элементов, у которых могут совмещаться преднамеренные отключения. Обычно это электрически последовательно соединенные элементы, когда отключение одного из них делает невозможным передачу энергии по всей цепочке. Группы выбираются путем исключения из системы одного j-го элемента. Всего может быть получено n групп.

2.Из группы выбирается элемент с наибольшим прi, по которому

рассчитывается наименьший интервал времени tкр min, в течение которого производится целое число преднамеренных отключений каждого элемента.

3.Выбирается из группы элемент i с наибольшей средней

продолжительностью преднамеренных отключений прi.

4. Рассчитывается параметр потока преднамеренных отключений эквивалентного элемента, заменяющего j-ю группу:

104

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

где tкр min - наименьший интервал времени, в течении которого производится целое число преднамеренных отключений каждого элемента;

и средняя (финальная) вероятность преднамеренных отключений

Примечание: Пункты 2, 3, 4 выполняются относительно заданного узла,

вобщем случае n раз.

5.Относительно заданного узла, рассчитывается параметр потока отказов всей сети:

и средняя вероятность отказа сети:

где k – ri - число сечений относительно узла, оставшегося в схеме после исключения j-го элемента;

kпрj - коэффициент, учитывающий уменьшение вероятности отказов изза возможного совпадения во времени отказов оставшихся элементов и преднамеренного отключения j-го элемента;

nj - число элементов в схеме с преднамеренно отключенным j-м элементом;

kj – ri - число сечений, относительно узла, оставшихся в схеме с преднамеренно отключенным j-м элементом после исключения еще и i-го элемента.

прj - средняя продолжительность отключений j-го элемента.

105

1.4.7.Расчет надежности протяженных объектов

1.4.7.Расчет надежности протяженных объектов

Часть устройств электроснабжения имеет сосредоточенные параметры, т. е. незначительную протяженность в пространстве. Это оборудование тяговых подстанций. Другие устройства - ЛЭП, контактная сеть, имеют большую протяженность. Деление всех объектов на протяженные и сосредоточенные условно и определяется как особенностями самих объектов, так и характером действующих на них нагрузок.

Не вызывает сомнения тот факт, что из двух однотипных объектов, более протяженный в пространстве должен иметь меньшую надежность. Следовательно, качественно можно утверждать, что надежность объекта уменьшается с увеличением его протяженности. Протяженность объекта в пространстве может иметь одно, два и три измерения (длина, площадь и объем). В этом смысле протяженный объект можно рассматривать как последовательное (по надежности) соединение объектов меньшего размера. Например, если участок контактной сети состоит из нескольких анкерных участков с известными показателями надежности, то показатели надежности всего участка сети могут быть рассчитаны как для системы с последовательным соединением. События (отказы) происходящие на разных частях протяженного объекта могут быть зависимыми и независимыми. Учет зависимых отказов значительно усложняет расчеты. Поэтому для приводимых ниже рассуждений принимается допущение о независимости событий и процессов, протекающих в протяженном объекте.

Вероятность отказа по протяженности объекта может быть неравномерной. Например, из-за провисания проводов ЛЭП, пробой воздушного промежутка более вероятен в точке с максимальной стрелой провеса. Вероятность пробоя изоляции из-за перенапряжений резко возрастает в местах неоднородностей волнового сопротивления: по концам линий, в местах обводов искусственных сооружений, в местах подключения питающих линий и т. д.

Нагрузки, действующие на объект, также часто бывают неравномерными по длине, объему и площади. Например, протяженная ЛЭП может пересекать несколько районов с различными климатическими условиями. В пределах одного пролета контактной сети фронт воздушного потока при ветре не будет одинаковым и т. д.

При рассмотрении восстанавливаемых объектов также будет различаться и время восстановления в зависимости от удаленности до места повреждения, его труднодоступности и т. д. Время доставки восстановительных бригад и техники к месту повреждения на контактной сети может отличаться в несколько раз.

106

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

Непараметрические модели отказов

Принимаются допущения:

вероятность отказа по протяженности объекта равномерна;

нагрузки равномерно распределены по протяженности;

время восстановления не зависит от удаленности места повреждения. При непараметрических моделях отказов для получения показателей

надежности протяженного объекта необходимо иметь зависимость интенсивности отказов или параметра потока отказов от единицы измерения протяженности объекта. Например, для контактной сети часто используется показатель надежности - интенсивность отказов на 100 км развернутой длины в год. При расчете вероятности безотказной работы участка заданной длины, интенсивность отказов пропорционально изменяется.

Пример:

100 км год

Найти вероятность безотказной работы участка контактной сети протяженностью 50 км в течение трех лет.

Решение:

Интенсивность отказов заданного участка

Вероятность безотказной работы при постоянной интенсивности отказов определяется экспоненциальным законом распределения (см. прил. 2):

Fi(t) exp( i t),

Fi(3) exp( 0,75 3) 0,105.

Параметрические модели отказов

Учет протяженности объектов основан на тех же допущениях и законе преобразования масштаба. Для учета протяженности объекта вводят специальный множитель, масштабный коэффициент:

107

1.4.7. Расчет надежности протяженных объектов

где V1 - единица объема (длины, площади) объекта, для которой известны показатели надежности;

Vn - полный объем (длина, площадь) протяженного объекта. Допустим, что протяженный объект можно разбить на n одинаковых

промежутков, для каждого из которых известна зависимость вероятности отказа от некоторой нагрузки x. Тогда вероятность отказа всего протяженного объекта

Qn(x) 1 1 Q1(x) n,

где Q1(x) - следует понимать как распределение прочности единичного объекта.

Если снять допущение о равной вероятности отказов каждого промежутка, то

n

Qn(x) 1 1 Q1i(x) .

i 1

Произвольному бесконечно малому элементу протяженности dv в неоднородном поле нагрузки соответствует некоторая случайная величина у, имеющая связь со случайной величиной х характеризующей единичный элемент. Связь осуществляется с помощью специальной функции геометрии (Хаушильд В., Мош В. / 31 /) в форме (v).

y v x y v .

Функция распределения случайной величины y аналогична функции распределения x.

Преобразуем формулу для вероятности отказа

n

1 Qn(x) 1 Q1i(x) .

i 1

Прологарифмируем правую и левую части

108

1.4. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

n n

ln 1 Qn(x) ln 1 Q1i(x) ln 1 Q1i(x) ,

где m - параметр центра (мода) двойного экспоненциального распределения;

- параметр рассеяния распределения.

При независимости вероятности отказа от координаты протяженности

объекта достаточно рассчитать n и подставить его в формулу для Qn(x).

109

1.4.7. Расчет надежности протяженных объектов

Если вероятность отказа не равномерна по протяженности объекта, то сначала находится специальная функция геометрии. Полученная функция геометрии подставляется в выражение для вероятности отказа, после чего это выражение интегрируется.

Пример:

Электрическая прочность единичного элемента объемом v1 = 10 см3 изоляции для кабеля в однородном поле описывается двухпараметрическим распределением Вейбулла:

где x - электрическая прочность (напряжение пробоя).

Найти функцию вероятности отказа кабеля с произвольным

внутренним и внешним радиусами r1 и r2 и длиной L.

Решение:

1. Напряженность поля нелинейно зависит от величины радиуса. Если

при радиусе r1 (единичный элемент) напряженность имеет величину x, то при радиусе r напряженность будет:

y x r1 . r

Функция геометрии имеет вид r1/r.

2. Объем также нелинейно зависит от радиуса. Приращение объема зависит от приращения радиуса так:

dV 2 L r dr.

3. Запишем уравнение для вероятности отказа.

После интегрирования и преобразований получено для :

110