А.Г. Галкин - Надежность и диагностика систем

Рис. 1.1

Но нагрузка xн может меняться в интервале (0, ). Поэтому для определения вероятности отказа необходимо проинтегрировать полученное

выражение на этом интервале, заменив x0 на x

21

1.2.2. Модель отказа: нагрузка и прочность - случайные величины

Справедливо и другое уравнение

Такие уравнения не имеют показателя наработки, поэтому модель отказа "нагрузка - прочность случайные величины" дает возможность рассчитать вероятность отказа или безотказной работы, но не позволяет определить функцию надежности и другие показатели, связанные с наработкой.

Не всегда удается проинтегрировать уравнения для вероятности отказа в элементарных функциях. В общем случае может потребоваться численное интегрирование. Ниже приводится ряд формул для нахождения вероятности отказа при различных законах распределения случайных величин нагрузки и прочности. Математические выкладки опущены.

Прочность и нагрузка имеют распределение Гаусса (нормальное)

(математические ожидания) случайной величины прочности и нагрузки;

п и н - соответственно параметры рассеяния (средние квадратические отклонения) прочности и нагрузки.

Вероятность отказа можно выразить через нормальное распределение нормированной случайной величины.

22

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

Прочность и нагрузка имеют экспоненциальное распределение

п н

где н и п - соответственно параметры распределений нагрузки и прочности.

Прочность имеет распределение Гаусса, а нагрузка - экспоненциальное

где п и п - соответственно параметр центра (математическое ожидание) и параметр масштаба (среднее квадратическое отклонение) прочности;

п - параметр распределения нагрузки.

Фн(x) - здесь и далее определяется по формуле (1.13).

Прочность и нагрузка имеют гамма - распределение

где Г(x) - гамма функция, см. прил. 2;

п и н - соответственно параметры формы распределения прочности и нагрузки;

r н п ;

п, н - соответственно параметры масштаба распределения прочности и нагрузки.

Нагрузка имеет распределение Гаусса, прочность - Вейбулла

23

1.2.2. Модель отказа: нагрузка и прочность - случайные величины

где x0п, п, п - соответственно параметры сдвига, формы и масштаба распределения прочности;

н, н - соответственно параметры центра и масштаба распределения нагрузки.

Прочность и нагрузка имеют распределение Вейбулла

Рассмотрим влияние параметров и взаимного расположения кривых плотностей распределения нагрузки и прочности на вероятность отказа. Отношение математических ожиданий прочности и нагрузки принято называть коэффициентом запаса.

Покажем, как влияют на вероятность отказа изменения математических ожиданий и коэффициентов вариации (см. прил. 2) распределений. Для простоты будем считать параметры распределения нагрузки неизменными.

Пусть имеются некоторые плотности распределений нагрузки fн(x) и

прочности fп(x), показанные на рис. 1.2, а). При уменьшении математического ожидания прочности (Рис. 1.2, б) площадь перекрытия возрастает, а следовательно, возрастает и вероятность отказа. Фактически это означает, что снижение коэффициента запаса приводит к росту вероятности отказа. Теперь допустим, что прочность имеет такое же математическое ожидание, как на рис. 1.2, а), но коэффициент вариации выше. Эта ситуация показана на рис. 1.2, в). Коэффициент запаса прочности не изменился, но

24

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

вероятность отказа возросла. Это произошло из-за того, что больший коэффициент вариации привел к большему перекрытию распределений. Указанные эффекты наглядно иллюстрирует рис 1.2, г), где показана зависимость вероятности отказа от коэффициента запаса при различных коэффициентах вариации, для случая, когда нагрузка и прочность имеют распределение Гаусса. Из рис. 1.2 можно сделать важный для практики вывод о значении высоких технологий. Высокие технологии позволяют изготовлять объекты с большой степенью точности, и, следовательно, с низким значением коэффициента вариации прочности. Это позволяет значительно снизить коэффициент запаса не увеличивая вероятность отказов и не снижая надежности объектов. Снижение коэффициентов запаса, в свою очередь, позволяет снижать массу, габариты и стоимость объектов.

Влияние параметров распределений на вероятность отказа в модели: нагрузка и прочность - случайные величины

Рис. 1.2

Пример:

Электрическая прочность изоляторов электроустановки аппроксимирована распределением Гаусса с параметром центра п = 30 кВ и

25

1.2.2. Модель отказа: нагрузка и прочность - случайные величины

параметром рассеяния п = 2,6 кВ. Коммутационные перенапряжения также распределены по закону Гаусса с параметром центра н = 20 кВ и параметром рассеяния н = 5 кВ.

Найти:

1.Коэффициент запаса прочности.

2.Коэффициенты вариаций прочности и нагрузки.

3.Вероятность отказа (пробоя изоляции электроустановки коммутационными перенапряжениями).

Решение:

1) Коэффициент запаса прочности найдем по формуле (1.19)

30 KЗ‚ 20 1,5

2) Коэффициент вариации прочности

п п

2,6п 30 0,086

Коэффициент вариации нагрузки

5н 20 0,25

3) Вероятность отказа по формуле (1.12)

Программа на Бейсике для расчета вероятности отказа, если нагрузка и прочность имеют распределение Гаусса, приведена в прил. 6.

26

1.2.НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

1.2.3.Модель отказа: нагрузка и прочность - случайные

процессы

В реальных условиях нагрузка и прочность часто могут изменяться со временем. В этом случае можно говорить о случайных процессах (прил. 4) изменения нагрузки и прочности. На рис. 1.3 показаны три характерных

ситуации. Прочность и нагрузку будем считать случайными процессами xп(t)

и xн(t). Под действием нагрузки xн(t) прочность непрерывно уменьшается до тех пор, пока объект не выйдет из строя. Время безотказной работы объекта определяется функцией распределения Q(t). Функция Q(t) зависит от значений прочности и нагрузки, значений параметров их законов распределений, а также от взаимосвязи функций xп(t) и xн(t).

Для получения аналитических зависимостей вероятности отказа объекта Q(t) и других показателей надежности выразим нестационарные

случайные функции xп(t) и xн(t) через более простые типы случайных функций. Для модели на рис. 1.3, а) нагрузка - стационарный случайный процесс с параметрами

Xн t Xн,

Xн t Xн.

Прочность - нестационарный случайный процесс с монотонно убывающим математическим ожиданием

где xп(t) - случайная величина;

п(t) - неслучайная функция усталости. Тогда п(t) = п(0) (t). Модель (вид) функции (t) зависит от характера физико-химических

процессов, протекающих в объекте под действием нагрузок. Например, это может быть экспоненциальная функция вида

Свойства функции усталости:

t 0 1;

lim t 0. t

27

Рис. 1.3

В работе Острейковского В.А. приводится ряд моделей физикохимических процессов определяющих деградационные явления.

28

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

29

1.2.3. Модель отказа: нагрузка и прочность - случайные процессы

С- концентрация вещества;

30