А.Г. Галкин - Надежность и диагностика систем

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

Считаем, что объект находится в состоянии i, если значение параметра х(t) лежит в i-м интервале квантования. В зависимости от характера возникающих отказов объект может либо последовательно проходить через всю цепь работоспособных состояний 0, 1, 2, … i, … n – 1 и достигать состояния отказа n (постепенный отказ) (Рис. 1.7, а), либо за один переход, мгновенно попадать из любого состояния i 1 … n – 1 в состояние отказа (внезапный отказ) (Рис. 1.7, в). Некоторые противоречия второго из рассмотренных случаев являются кажущимися. Конечно, переход параметра объекта из состояния 0 в состояние n, например, разупрочнение, все равно происходит через все состояния. Но если этот переход происходит мгновенно, то можно считать время нахождения в промежуточных состояниях равным нулю. И, следовательно, процесс как бы перескакивает через промежуточные состояния. Можно рассуждать и по другому. Для этого достаточно предположить, что объект подвержен двум независимым потокам событий - внезапным и постепенным отказам. Тогда мгновенный переход в состояние отказа из любого другого будем считать проявлением потока внезапных отказов.

Состояния с 1 по n-1 будем называть предотказовыми. Состояние отказа n не имеет выходов и называется поглощающим. Интенсивность пересечения процессом x(t) уровня квантования i при внезапном отказе

обозначим через i, при постепенном отказе (предотказе) - через i. По

физическому смыслу i - интенсивность внезапных отказов, i - интенсивность предотказов. Графы состояний для обоих рассматриваемых случаев показаны на рис. 1.7, б, г). Это графы состояний и переходов марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем (прил. 4). Для практики более полезен случай, показанный на рис. 1.7, г). Запишем для него обобщенное уравнение Колмогорова:

dPdti t i + i Pi t i 1 Pi 1 t , для i 0 … n – 1, (1.47)

где i = 0, если i < 0. i = 0, если i n – 1. i = 0, если i > n – 1

Запись i 0 … n – 1 означает, что в системе n уравнений.

Учитывая, что в любой момент времени система находится в одном из состояний, получаем (n + 1) уравнение

n

Pi t 1,

i0

41

Применив преобразование Лапласа (прил. 5) к системе уравнений при указанных начальных условиях получим:

для i 0 … n – 1,

42

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

где S - параметр преобразования Лапласа (в Приложении 5 "S" обозначено как "P");

Ki = i + i.

Функция надежности - это вероятность застать объект в заданный момент времени t в любом из работоспособных состояний 0 ... n – 1

Зная функцию надежности, определим другие показатели надежности. Плотность распределения наработки до отказа:

Математическое ожидание наработки до отказа:

43

1.2.5. Модель отказов с марковской аппроксимацией параметра

n 1A

T in . (1.54) i 0 Ki

Полученное уравнение плотности распределения наработки до отказа является одним из наиболее общих. Например, если постепенные отказы

отсутствуют ( i = 0; n = 1), получим экспоненциальное распределение с параметром 0 и т. д. Интенсивность отказов (t) может быть монотонной и немонотонной, возрастающей или убывающей функцией наработки в зависимости от соотношений интенсивностей процесса.

Модель процесса изменения параметра в виде цепи Маркова

В приведенной выше модели процесс квантовался по уровню. Операцию квантования процесса можно провести и по наработке. В этом случае будет получен процесс с дискретными состояниями и дискретным временем. Шаг процесса по времени будет равен ширине интервала квантования. При выполнении всех необходимых условий (стационарности и т. д. - см. прил. 4) такой процесс можно аппроксимировать цепью Маркова.

Если исходный процесс не монотонный, т. е. случайные реализации изменения параметра могут и возрастать и убывать, то на графе состояний марковской цепи возможны переходы не только от состояния с меньшим номером к состоянию с большим номером, но и наоборот. Если исходный процесс имеет случайные блуждания одновременно с достаточно большой шириной интервала квантования по наработке, то становятся возможными переходы не только между состояниями, номера которых отличаются на единицу, но и между любыми состояниями. Процессы разрегулировки зигзагов и уклонов контактных проводов как раз хорошо иллюстрируют такой случай. Такое же поведение марковской цепи возможно при скачкообразных изменениях параметра.

Марковская цепь при немонотонном изменении параметра исходного процесса может не иметь поглощающих состояний. Одно или несколько состояний марковской цепи могут быть связанны с состоянием отказа или с предельным состоянием объекта. Используя стандартный математический аппарат марковских цепей можно найти вероятностные показатели нахождения процесса в указанных состояниях и их зависимость от наработки.

44

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

Пример:

Модель отказов трубчатого разрядника предполагает наличие внезапных отказов и отказов из-за износа фибры. Известны интенсивности

внезапных отказов из исправного состояния 0 = 0,05 1/год; из состояния

1 = 0,04 1/год.

Найти:

Зависимость функции надежности, плотности распределения наработки до отказа и интенсивности отказов от наработки. Рассчитать математическое ожидание наработки до отказа.

Решение:

Перечислим все возможные состояния объекта и перенумеруем их:

0- исправное состояние;

1- состояние предотказа;

2- состояние отказа;

Изобразим и разметим граф состояний и переходов модели марковской аппроксимации (Рис. 1.8, а). Воспользуемся приведенными выше формулами, учитывая, что в нашем случае n = 2:

Коэффициенты

где K0 = 0 0 0,02 0,05 0,07 1/год; K1 1 1 0,04 0,06 0,1 1/год.

Функция надежности:

F t P0 t P1 t A02 exp K0t A12 exp K1t .

45

1.2.5. Модель отказов с марковской аппроксимацией параметра

Для наработки t = 10 лет:

F(10) 1,67 exp( 0,07 10) ( 0,67) exp( 0,1 10) 0,58.

Плотность распределения наработки до отказа:

q t K0A02 exp K0t K1A12 exp K1t .

Для наработки t = 10 лет:

q(10) 0,07 1,67 exp( 0,07 10) 0,1 ( 0,67) exp( 0,1 10) =3,34 10-2 1/год.

Интенсивность отказов:

(t) K0A02 exp( K0t) K1A12 exp( K0t).

A02 exp( K0t) A12 exp( K1t)

Для наработки t = 10 лет:

(10) 0,07 1,67 exp( 0,07 10) 0,1( 0,67) exp(0,07 10) 5,74 10 21/год. 1,67 exp( 0,07 10) ( 0,67) exp( 0,1 10)

Математическое ожидание наработки до отказа:

T A02 A12 1,67 ( 0,67) 17,14 года. K0 K1 0,07 0,1

Зависимости функции надежности F(t), плотности распределения наработки до отказа q(t) и интенсивности отказов (t) представлены на рис. 1.8, б, в, г) соответственно. Они рассчитаны с помощью программы на языке Бейсик из прил. 6.

46

1.2.6 Непараметрические модели отказов

1.2.6. Непараметрические модели отказов

На практике не всегда имеется информация о процессах изменения параметров объектов. Причин может быть несколько. Например, из-за отсутствия средств диагностирования нет возможности оперативно контролировать параметр. Для части объектов вообще может отсутствовать подобная информация из-за неизвестности процессов деградации. Но незнание процессов изменения параметров не означает их отсутствие. Такие процессы - объективная реальность и они определяют работоспособность объекта. Отсутствие информации о процессах изменения параметров вынуждает использовать для расчетов ограниченную информацию - в виде сообщений о состоянии объекта "отказал", "не отказал", т. е. только о моментах установки в работу и времени работы до отказа. Для расчетов в этом случае имеется только выборка случайных величин наработки до отказа, полученная в конкретных местных условиях.

Рассмотрим, как взаимосвязаны параметрические и непараметрические модели и здесь же дадим физическое толкование некоторых понятий, приведенных выше. Появление отказов во времени подчиняется определенной закономерности (Рис. 1.9). На рис. 1.9, г) показана модель: нагрузка и прочность - случайные процессы. Предположим, что нагрузка является стационарным процессом.

В начальный момент времени t = 0 распределение прочности объектов

fп(x) имеет относительно большой разброс (дисперсию) из-за наличия объектов как с низкой, так и с высокой прочностью. Различие в прочности обусловлено недостаточной точностью технологии изготовления объектов. Т. к. нагрузка случайна, то "слабые" объекты отказывают на начальном этапе эксплуатации. По этой причине как интенсивность отказов (t) (см. Рис. 1.9, б), так и плотность распределения q(t) (см. Рис. 1.9, в) на начальном этапе могут быть сравнительно высокими. Отказы, обусловленные включением в эксплуатацию "слабых" объектов называются приработочными отказами, а период, когда они наблюдаются, - периодом приработки. В качестве примера здесь можно привести уже упоминавшиеся отказы струновых зажимов из-за дефектов литья. Раковины воздуха "ослабляли" зажимы и они быстро выходили из строя. К приработочным отказам приводят также ошибки монтажа. Для участка кривой интенсивности отказов периода приработки характерно то, что интенсивность здесь убывает. Для ряда объектов приработка может отсутствовать. Например, электровакуумные приборы не имеют такого участка кривой интенсивности отказов. Объекты, имеющие высокое качество изготовления, также могут не иметь периода приработки.

48

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

Взаимосвязь между параметрической и непараметрическими моделями отказов

Q(t)

1

в) плотность распределения наработки до отказа

г) модель: нагрузка и прочность - случайные процессы Рис. 1.9

49

1.2.6. Непараметрические модели отказов

Применительно к модели нагрузка - прочность это означает, что объекты имеют небольшой разброс прочности, а нагрузки значительно меньше допустимых.

Выход из строя "слабых" объектов в период приработки приводит к уменьшению рассеивания прочности оставшихся объектов и некоторому

повышению ее среднего уровня (кривая fп2(x) на рис. 1.9, г). Поэтому случаи превышения нагрузкой прочности становятся весьма редкими. На этом временном отрезке отказы происходят из-за случайных выбросов нагрузки и называются внезапными. Интенсивность отказов не меняется и остается на самом низком уровне (см. рис. 1.9, б). Этот период называется периодом или этапом нормальной эксплуатации. Для одних объектов случайные отказы являются преобладающими, для других - могут быть нехарактерными. Для устройств, работающих в резко меняющихся условиях воздействий внешней среды, при высоких механических, тепловых или электрических напряжениях внезапные отказы составляют основную долю отказов. К таким объектам можно отнести большую часть устройств контактной сети. В устройствах, работающих в стационарных условиях, защищенных от воздействий внешней среды, внезапные отказы могут практически отсутствовать. Это, прежде всего силовые и понизительные трансформаторы и другое оборудование тяговых подстанций.

Наконец, вследствии накопления необратимых изменений в объектах под воздействием нагрузок наступает период, когда прочность снижается

(кривая fп3(x) на рис. 1.9, г). Случаи превышения нагрузкой прочности становятся все более частыми. Снижается упругость пружин, эластичность резины, диэлектрические свойства изоляторов, возрастают переходные сопротивления электрических соединений, износ и т. д. Наступление отказа состоит в том, что объект не может воспринимать действующие на него нагрузки, и не обеспечивает заданные параметры функционирования. Отказы в результате износа и старения называются постепенными или износовыми, а соответствующий им период эксплуатации - периодом износа. В период износа интенсивность отказов непрерывно возрастает (Рис. 1.9, б).

Указанное деление срока службы объекта на периоды наглядно поясняет суть происходящих изменений его параметров. Однако надо помнить, что деление на периоды выполнено по преобладающим типам отказов на каждом из них, это не исключает возможности появления других типов отказов отдельных объектов на участках наработки, не свойственных им. Например, внезапные и постепенные отказы могут появляться на всех трех этапах.

При отсутствии информации о процессах изменения параметров может быть известно только распределение наработки до отказа. Из него используя известные соотношения можно получить все показатели надежности. Не следует забывать, что непараметрический подход не учитывает скорости

50