А.Г. Галкин - Надежность и диагностика систем

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

a, b, c, d, , A, B, , , k, n1, u, - константы.

При независимых нагрузках и прочности, выражение для вероятности отказа имеет вид

при r (t) x < . Вид уравнения совпадает с видом выражения для модели отказа "нагрузка и прочность - случайные величины".

Для модели на рис. 1.3, б, следует вместо (t) подставлять функцию усталости вида

где н(t) - неслучайная величина математического ожидания процесса нагрузки.

В случае убывающего математического ожидания нагрузки (Рис. 1.3, в) должно выполняться условие

lim t 0,

t н t

что соответствует убыванию математического ожидания нагрузки с меньшей скоростью по сравнению с математическим ожиданием прочности. Функция

усталости 1(t) находится аналогично.

В общем случае не всегда удается выразить зависимость вероятности отказа от наработки в элементарных функциях и может потребоваться численное интегрирование.

Нагрузка и прочность имеют распределения Гаусса. Вероятность отказа (функция ненадежности) равна

Плотность распределения наработки до отказа

31

1.2.3. Модель отказа: нагрузка и прочность - случайные процессы

Математическое ожидание наработки до отказа при функции усталости

Плотность распределения наработки до отказа

32

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

0,при t 0;

Примечание: При t = 0 плотность не существует, но вероятность отказа при этом равна

Математическое ожидание наработки до отказа

Нагрузка и прочность имеют экспоненциальный закон распределения.

Вероятность отказа

kЗ t 1

Плотность распределения наработки до отказа

Математическое ожидание наработки до отказа при зависимости (1.21)

k

Пример:

Пусть случайный процесс изменения прочности электрических подвесных изоляторов из-за загрязнений имеет в сечениях распределение

33

1.2.3. Модель отказа: нагрузка и прочность - случайные процессы

Гаусса со средним квадратическим отклонением х = 10 кВ. Математическое

стационарный случайный процесс с математическим ожиданием 40 кВ и средним квадратическим отклонением 20 кВ.

Найти:

1.Функцию ненадежности.

2.Функцию плотности распределения наработки до отказа.

3.Математическое ожидание наработки до отказа.

Решение:

1) Рассчитаем функцию ненадежности для наработки t = 8 лет

kЗ(8) 80 exp(0,1 8) 0,899; 40

10п 35,95 0,278;

20

H 40 0,5.

2) Найдем значение плотности распределения наработки до отказа при t = 8 лет

3) Математическое ожидание наработки до отказа, найденное методами численного интегрирования составляет

Т = 7,8 года.

Результаты расчетов представлены на рис. 1.4. Все расчеты выполнены при помощи программы на Бейсике из прил. 6.

34

Рис. 1.4

1.2.4. Модель отказа: параметр - поле допуска

При эксплуатации объектов часто имеется возможность контроля параметров и их работоспособности. Поэтому возникает необходимость установления аналитической связи характеристик, описывающих изменение параметров элементов, с показателями надежности. Такую связь помогает установить модель отказа параметр - поле допуска, представленная на рис 1.5. Случайный процесс изменения параметра представлен сечениями, в которых располагаются кривые плотности распределения параметра в определенные моменты времени f(x, t). Различают модели с одно - и двухсторонним полем допуска. Границы поля допуска могут задаваться как

35

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

где Q(x, t) - вероятность отказа в сечении процесса на момент времени t. Интегральная функция распределения времени до отказа (функция

ненадежности)

где (t) - моментная функция некоторого параметра распределения f(t); a, b, c - коэффициенты регрессий.

Следует отметить, что такая модель не в полной мере отражает случайный процесс изменения параметра. Не учитывается зависимость между значениями случайной функции в различные моменты времени. Поэтому не всегда полученная функция Q(t) удовлетворяет условию

lim Q t 1. t

Нахождение аналитической зависимости вероятности отказа от наработки требует интегрирования, что не всегда удается выполнить в элементарных функциях. В общем случае может потребоваться численное интегрирование.

Параметр имеет распределение Гаусса. Вероятность отказа (функция ненадежности)

37

1.2.4. Модель отказа: параметр - поле допуска

где xдоп - граница поля допуска;

(t) и (t) - соответственно моментные функции математического ожидания и среднего квадратического отклонения;

t0 - начальный момент времени;

Ф(x) - функция Лапласа –0,5 Ф(x) 0,5 при – < x <

Если моментные функции имеют вид а + bt, то предел равен

где a и a - соответственно свободные члены линейных моментных функций математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Плотность распределения наработки до отказа

Если моментная функция имеет вид t a b t, то предел равен

38

1.2. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ

Плотность распределения наработки до отказа

Другие показатели надежности могут быть найдены из известных соотношений (см. п.1.2.1).

Пример:

Пусть процесс уменьшения оставшегося сечения контактного провода НЛФ 100 из-за износа имеет в сечениях закон распределения Гаусса. Моментные функции имеют вид: (t) = 100 – 2t для параметра центра (математического ожидания); (t) = 2 + 0,3t для параметра рассеяния (среднего квадратического отклонения); t измеряется в годах. Допустимое сечение (граница поля допуска) 52 мм2. Рассчитать и построить зависимости плотности распределения наработки до отказа и вероятности отказа от наработки.

Решение:

Сделаем подстановку для вероятности отказа при наработке 20 лет

Для плотности распределения наработки до отказа

2(2 0,3 20) 52 (100 2 20) 0,3 0,0514 1/год. (2 0,3 20)2

Для расчетов указанных зависимостей можно использовать программу на языке Бейсик из прил. 6. Результаты расчетов показаны на рис. 1.6.

39

1.2.4. Модель отказа: параметр - поле допуска

Расчет зависимостей вероятности отказа и плотности распределения наработки до отказа для модели параметр - поля допуска

q(t),

лет-1

0,5

0

б) плотность распределения наработки до отказа

Рис. 1.6

1.2.5. Модель отказов с марковской аппроксимацией параметра

Рассмотрим случайный процесс с непрерывным пространством состояний - процесс изменения параметра объекта (Рис. 1.7). Диапазон допустимого по техническим условиям изменения параметра разделим на n квантов (интервалов). Такая процедура называется квантованием по уровню.

40