В. Д. Бертяев, Л. А. Булатов, В. В. Глаголев, В. И. Латышев, А. Г. Митяев. ЭВМ в курсе теоретической

Решение

Ферма AB содержит 8 узлов, соединенных 13 стержнями, т.е. 2 × 8 – 3 = 13,

и ферма является статически определимой.

Рассмотрим равновесие фермы AB (рис. 2.2.8). Проведем систему коор-

динат xAy и изобразим действующие на нее внешние силы: активные P1 , P2 , P3

и реакции связей. Реакцию RA катковой опоры направим перпендикулярно опорной плоскости, а реакцию неподвижной шарнирной опоры B изобразим двумя составляющими X B и YB .

Для нахождения усилий в стержнях фермы воспользуемся методом вырезания узлов. Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим мысленно связи и заменим их действия реакциями

— усилиями в стержнях. На рис. 2.2.8 и 2.2.9 показаны пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами.

Для обозначения усилий в стержнях можно воспользоваться обычной

Si , i =1,13 (рис. 2.2.8) или двойной Smn , m; n =1, 8 (рис. 2.2.9) нумерацией.

Рис. 2.2.8 Расчетная схема с обычной нумерацией стержней.

81

При обычной нумерации индекс обозначает номер стержня фермы. Со-

гласно аксиоме о равенстве действия и противодействия, имеем Si = −Si′.

Рис. 2.2.9 Расчетная схема с двойной нумерацией стержней.

При двойной нумерации первая цифра индекса обозначает номер текущего узла, а вторая — номер узла с которым соединен данный стержень. Для стержня, соединяющего узлы с номерами m иn , согласно аксиоме о равенстве действия и противодействия, имеем Sm n = −Sn m .

Направления реакций всех стержней показаны от узлов вдоль их осей в предположении, что стержни растянуты. Если в результате решения усилие в стержне окажется отрицательным, это будет означать, что данный стержень сжат.

Вычисление усилий в стержнях и реакций внешних связей проведем двумя способами.

1 способ

Составление уравнений равновесия для каждого узла

а также решение полученной системы осуществим в пакете Mathcad.

82

Ввод исходных данных

Задание начальных приближений для неизвестных реакций и усилий в стержнях

№Уравнения равновесия для каждого узла в проекциях на оси координат

Результаты расчета показывают, что стержни 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13 сжаты, а 3, 5, 9, 11 — растянуты.

83

Методы теоретической механики при расчете ферм обычно применяются на этапе предварительного проектирования. Именно на этом этапе может быть поставлена задача выбора оптимального решения согласно одному или нескольким критериям. Например, требуется обеспечить минимальную силу давления на одну или все опоры. При такой постановке задачи, действующие на ферму активные силы принимаются максимальными, а в качестве влияющих параметров можно выбрать ориентацию опорной плоскости, характеризуемой углом γ, и (или) характерный размер фермы a (b).

В этом случае решение нужно представить векторной функцией иссле-

дуемых параметров, например γ. Идентификатор процедуры-функции Find должен иметь вид, подобно представленному ниже.

……………………………..

Затем можно исследовать зависимость найденного решения от указанных параметров стандартными методами Mathcad.

84

2 способ.

Решение, полученное первым способом, позволяет исследовать влияние внутренних параметров фермы (ее геометрические размеры, ориентация опорных плоскостей) и заданных внешних сил на величины реакций связей. Однако, при изменении внешних связей (вид опор, смена места их расположения) или действующей системы активных сил, приходится заново составлять уравнения равновесия для каждого узла. Исключить необходимость, каждый раз, при изменении вида фермы и действующей системы активных сил, составлять уравнения равновесия, можно, используя способ, основанный на программировании.

Данный способ заключается в следующем:

Уравнения равновесия записываются в виде

реакций связей, приложенные к данному узлу. В данном случае используется двухиндексная нумерация стержней (см. рис. 2.2.9).

После записи уравнений равновесия в проекциях на оси координат, полученная система линейных алгебраических уравнений приводится к матричной форме

A S = B ,

где вектор правых частей B полностью определяется действующими на ферму активными силами; вектор неизвестных реакций внешних и внутренних связей S задается в соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 2.2.8; а матрица A формируется на основе математической модели фермы.

Модель фермы можно описать с помощью трех матриц:

Квадратной матрицей M, размером n×n, который задается количеством узлов в ферме. Ее i, j – й элемент определяет наличие (1) или отсутствие (0) стержня между i – м и j – м узлом. Т.е. используется двойная нумерация стержней.

85

Матрицей R размером 2×n, которая формирует внешние связи, наложенные на ферму. В первой строке задаются горизонтальные связи, во второй вертикальные. Номер столбца указывает номер узла, на который действует связь.

Матрицей r размером 2×n, которая определяет координаты всех узлов. Номер столбца матрицы соответствует номеру узла фермы.

При формировании матрицы A необходимо согласовать двух индексную и обычную нумерацию стержней.

Представленный ниже фрагмент документа Mathcad, в котором содержатся программные модули, обеспечивающие расчет фермы, позволяет исследовать влияние как внутренних, так и внешних параметров фермы на величины реакций связей.

Кроме этого, модуль, формирующий матрицу коэффициентов при неизвестных реакциях A, после небольших изменений, можно использовать при расчете ферм с любым количеством узлов и действующих активных сил. В этом случае, достаточно изменить в блоке исходных данных матрицы M, R, r, Fa.

Создаем модель фермы с помощью матриц М, R(γ) и r. Начало блока исходных данных.

С помощью матрицы Fa задаются главные векторы активных сил, действующие в узлах.

Ввод исходных данных с использованием оператора глобального присваивания

Конец блока исходных данных.

Начало вычислительного блока

86

Вкачестве примера решим задачу выбора схемы расположения внешних связей, действующих на ферму, при которых силы давления минимальны. Выбор оптимального решения будем осуществлять "в целом", т.е. когда модули реакций связей близки к своим минимальным значениям.

Вданном исследовании ограничимся тремя схемами расположения

внешних связей:

87

Рис. 2.2.11 Схема 3 расположения внешних связей.

Результаты исследования приведены на фрагментах документов Mathcad, представленных на рис. 2.2.12, рис. 2.2.13 и рис. 2.2.14 в виде коллажей с отображением только необходимых данных.

В расчетах, изменяем, в соответствии с каждой схемой, матрицу R(γ), а

затем строим графики зависимостей от угла γ, характеризующего ориентацию

88

Рис. 2.2.12 Результаты расчетов по схеме 1 (рис. 2.2.7)

Присваивание идентификаторов реакциям внешних связей осуществляем по следующей схеме: первый столбец матрицы R(γ) обозначает реакции в шарнире A, последний — реакции в шарнире B, а промежуточный — реакции в шарнире C. В соответствие с этим компонента S14 вектора неизвестных значе-

ний обозначает реакцию RA или ее горизонтальную составляющую X A , компо-

нента S16 — реакцию RB или ее вертикальную составляющую YB .

89

…………………………