В. Д. Бертяев, Л. А. Булатов, В. В. Глаголев, В. И. Латышев, А. Г. Митяев. ЭВМ в курсе теоретической
.pdf
IT23
4
3
1 |
2 |
m1
IFСЦ
4
3
2
1
m1
Рис. 2.3.30 Поведение функций IT23 (m1 ) и IFCЦ (m1 ) в резонансной области при разных значенияхτk иm2 = 2 кг, m3 =50 кг, c = 430 кН / м:
1 —τK =15 c , 2 —τK = 35 c , 3 —τK = 50 c , 4 —τK = 70 c
131
m1 |
IF |
(m1 |
, c)= 0 IT (m1, c)= 0 |
|
CЦ |
|
23 |
m1рез(c)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
Рис. 2.3.31 Изменение корней функций IT |
|
(m1 |
, c)= 0 и IF |
(m1, c) = 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
CЦ |
|
|
в резонансной области при m2 = 2 кг, m3 = 50 кг. |
|||||||||||||
Вычисляя корни первых двух уравнений системы (7), при различных зна- |
|||||||||||||
чениях массы блока m3 |
и жесткости пружины c получили, что (рис. 2.3.32) |
||||||||||||
|
|
m* |
|
> m |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1min |
|
|
|
1min |
|
|
|
|
||
при всех значениях m3 |
и c, лежащих в интервалах |
|
|
||||||||||
|
m3 ≤100 кг, с≤ 2000 |
|
Н / м. |
|
|||||||||
Т.е., если величина массы груза m |
1 |
≥ m* |
|
|
, то требования T |
≥ 0 , T ≥ 0 вы- |
|||||||
|
|
|
|
|
1min |
|
|
|
12 |
23 |
|||
полняются автоматически. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в указанных диапазонах изменения m3 и c , достаточно |
|||||||||||||
найти решение следующей системы уравнений |
|
|
|
|
|||||||||
|
m1min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
= minm IT23 |
(m1) = 0 |
(8) |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
= max I |
|
|
(m ) |
= 0 . |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
1max |
m1 |
|
F |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
сц |
|
|
|
|
|
|
|
132
Рис. 2.3.32 Зависимость m (m ) |
и m (m ) при m = 2 кг и |
|||
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 — c = 2000 Н/м, 2 – c =800 Н/м. |
|
|||
Полученная система позволяет определить не только допустимые границы изменения внутренних параметров механической системы, но и вид поверхностей отображающих максимальные и минимальные значения массы груза
(рис. 2.3.33, рис. 2.3.36)
m1max = m1max (m3, c) |
|
m2 |
, m1min = m1min (m3, c) |
|
m2 . |
|
|
||||
|
|
При вычислении массыm1 , определяющей границы допустимых значений внутренних параметров механической системы (рис. 2.3.33), разделим эту область на до и после резонансные подобласти.
Анализ поверхностей m1min (m3, c) и m1max (m3, c) изображенных на Рис. 2.3.33 показывает, что резкое изменение предельных величин массы груза
происходит |
в около резонансной области. При этом точки плоскости |
m1 (m3, c) |
являются предельными величинами, к которым стремятся, с обеих |
РЕЗ
сторон этой плоскости, функции m1max (m3, c) иm1min (m3, c).
133
m1рез
m1
m1max
m1min
m3
c
Рис. 2.3.33 Поверхности m1min (m3,c), m1max (m3,c) и m1рез (m3,c)
Процесс вычисления значений функций m1max (m3, c) и m1min (m3, c) в резонансной области становится неустойчивым и связан с дополнительным исследованием устойчивости решения уравнений (8).
Уменьшение максимальных и увеличение минимальных значений массы груза при приближении к резонансной области (рис. 2.3.33, рис. 2.3.34, рис. 2.3.35) можно объяснить тем, что стремление частоты колебаний механической системы к частоте возмущающей силы приводит к резкому увеличению ускорений каждого тела системы, и следовательно к увеличению амплитуды внутренних сил взаимодействия между звеньями механизма.
Требования выполнения условий
T12 ≥ 0 , T23 ≥ 0
приводит к необходимости увеличения массы груза. Требование выполнения условия
′ |
N3 |
FСЦ ≤ FСЦ = fСЦ |
приводит к необходимости уменьшения массы груза.
134
m1
F ≤ 0
1
2
3 m1max
4
5
6
F ≥ 0 |
T ≥ 0 |
16 m1min
T ≤ 0
m3
Рис. 2.3.34 Зависимости m1min (m3 ) и m1max (m3 ) при m2 = 2 кг и различных значенияхc в до резонансной области.
1 — c = 2000 Н/м, 2 – c =1300 Н/м, 3 — c =1050 Н/м, 4 — c = 925 Н/м, 5 — c =800 Н/м, 6 — c = 700 Н/м.
Внутри области, ограниченной на рис. 2.3.34 и рис. 2.3.35 сплошными и штрихованными линиями, выполняются условия
T12 ≥ 0 , T23 ≥ 0 , |
|
FСЦ |
|
′ |
= fСЦ |
N3 |
|
|
|||||
|
|
≤ FСЦ |
определяющие области допустимых значений внутренних параметров механической системы.
135
m1
6
m1max
F ≤ 0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
||
2
1
|
|
|
F ≥ 0 T ≥ 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
m1min |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
5
6 |
T ≤ 0 |
|
|
|
m3 |
Рис. 2.3.35 Зависимости m1min (m3 ) и m1max (m3 ) при m2 = 2 кг и различных значенияхc в после резонансной области.
1 — c = 675 Н/м, 2 – c = 550 Н/м, 3 — c = 425 Н/м, 4 — c = 300 Н/м, 5 — c =175 Н/м, 6 — c = 50 Н/м.
Данные области ограничены пересекающимися поверхностями m1max (m3, c) и m1min (m3, c), общий вид которых представлен на рис. 2.3.36 —
рис. 2.3.39.
136
m1
m1max
m1min
c m3
Рис. 2.3.36 Область допустимых значений массы груза m1 .
m1
m3
Рис. 2.3.37 Сечения c = const поверхностей m1min (m3,c) и m1max (m3,c).
137
m1
c
Рис. 0.1 Сечения m3 = const поверхностей m1min (m3,c) и m1max (m3,c).
m3
c |
c |
Рис. 2.3.39 Сечения m1 = const поверхностей m1min (m3,c) |
и m1max (m3,c). |
138
Анализ результатов вычислений показывает, что наиболее предпочтительной, для нормального функционирования механической системы, является область до резонансных значений параметров механизма. Т.е., при величинах жесткости упругого элемента и массы тела 3 внутри интервалов
700 Н / м = c* ≤ c ≤ 2000 Н / м,
m3 min (c)≤ m3 ≤100 кг,
величины m1min (m3, c) и m1max (m3, c) можно аппроксимировать полиномами
(рис. 2.3.40, рис. 2.3.41)
m1 max (m3, c) = A0 (c)+ A1 (c) m1 min (m3, c) = B0 (c)+ B1 (c)
m3 +m0
mm3 ,
0
|
|
2 |
||
A2 (c) |
|
m3 |
|
, |
|
||||
|
m0 |
|
|
|
где |
(c)= C |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
c |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A |
|
+C |
|
+C |
|
, |
|||||||||
N 0 |
N1 |
|
|
|
|
N 2 |
|
|
|
||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
c0 |
|
|
|
c0 |
|
|
||||
B |
(c)= D |
+ D |
|
c |
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
N |
|
N 0 |
|
N1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
c0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
m0 =18.61кг, с0 =1575 Н/м,
C00 |
= −1.606, |
C01 = 0.257, |
C02 |
= −0.214, |
|
C10 |
= 3.175, |
C11 |
= −0.496, |
C12 |
= 0.264, |
C20 |
= −0.604, |
C21 |
= 0.906, |
C22 |
= −0.389, |
D00 |
= 1.336, |
D01 |
= −0.042, |
|
|
D10 |
= 0.118, |
D11 |
= −0.108. |
|
|
Линия пересечения данных поверхностей m3min (m3, c) аппроксимируется полиномом 3-й степени с погрешностью менее 5%
m |
(c)= M |
|
+ M |
|
c |
|
+ M |
|
|
|
c |
2 |
+ M |
|
c |
3 |
, |
||
0 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
3 min |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
c0 |
|
|
|
c0 |
|
|
|
c0 |
|
|
||||
где M0 = 28.883 M1 = −28.310 |
M2 |
= 25.562 |
|
|
M3 = −7.509 |
|
|
||||||||||||
139
m1
m1 = 2кг
m3min |
m3 |
Рис. 2.3.40 Сечения m1 = const поверхностей m1min (m3,c) и m1max (m3,c). m1
c
Рис. 2.3.41 Сечения m2 = const поверхностей m1min (m3,c) и m1max (m3,c).
140