Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

В. Д. Бертяев, Л. А. Булатов, В. В. Глаголев, В. И. Латышев, А. Г. Митяев. ЭВМ в курсе теоретической

.pdf
Скачиваний:
119
Добавлен:
22.01.2014
Размер:
3.24 Mб
Скачать

Изменяем матрицу R, в соответствие с требуемым расположением опор фермы представленным на рис. 2.16.

…………………………

RA(γ) := S(γ)14

RC(γ) := S(γ)15

…………………………

 

(γ) :=

sin(γ)

0

0

0

0

0

1

0

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos (γ)

0

0

0

0

0

0

1

RB(γ) := S(γ)16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RA(γ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RC(γ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RB(γ)

 

 

 

90

 

 

60

 

 

 

30

 

 

 

0

30

60

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ deg1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γRa := −23.5 deg

 

 

 

 

 

 

γRb := 51.5 deg

 

 

 

 

 

γRc := −22.2 deg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

21.295

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

-37.301

 

 

1

20.936

 

 

 

2

-24.294

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

-63.358

 

 

2

-24.532

 

 

 

3

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

20

 

 

3

20

 

 

 

4

21.295

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

-37.301

 

 

4

20.936

 

 

 

5

1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

40.264

 

 

5

1.438

 

 

 

6

-12.747

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

-51.811

 

 

6

-12.985

S(γRa) =

7

-5

 

 

 

 

 

 

S(γRb) =

7

 

-5

 

 

7

-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(γRc) =

 

 

8

19.607

 

 

 

 

 

 

8

 

0.075

 

 

 

8

19.488

 

 

 

9

4.574

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

-34.49

 

 

9

4.335

 

 

 

10

-21.407

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

-60.471

 

 

10

-21.646

 

 

 

11

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

30

 

 

11

30

 

 

 

12

19.607

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

0.075

 

 

12

19.488

 

 

 

13

-39.215

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

-0.151

 

 

13

-38.976

 

 

 

14

22.942

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

88.141

 

 

14

22.947

 

 

 

15

0.488

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

-77.64

 

 

15

9.952·10 -3

 

 

 

16

33.961

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

0.131

 

 

16

33.754

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2.14 Результаты расчетов по схеме 3 (рис. 2.2.11)

С точностью до 0,5°, которая определяется ранжированной переменной γ

(см. рис. 2.2.12) получаем следующие оптимальные значения углов γ

(рис. 2.2.12 – 2.2.14):

91

Схема 1 — γ

 

R

=min

=γR

= 0°,

γ

 

 

R

=min

=γR

= −22.15°;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема 2 — γ

 

 

R

=min

=γR

=14.5°,

γ

 

 

R

=min

=γR

= 0°;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема 3 — γ

 

R

=min

=γR

= −23.5°, γ

 

 

 

R

 

=min

=γR

= 51.5°, γ

 

R

=min

=γR = −22.2°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

B

 

 

C

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

C

 

 

Рис. 2.2.15 Использование опции "Trace" для нахождения оптимальных значений γ.

Конструктивные особенности мостовых ферм таковы, что ориентация опорной плоскости подвижной опоры характеризуется только положительными углами γ ≥ 0. Следовательно, отрицательные значения γ из рассмотрения можно исключить.

В схеме 3 реакция RB должна быть положительной, так как является не-

удерживающей связью, и, с учетом предыдущего вывода допустимые значения

γ лежат в интервале 0° ≤ γ ≤ 51°. В качестве оптимального решения для схемы 3

можно выбрать значение γ = 0, так как при γ > 0 происходит резкое увеличение модулей реакций RA и RC .

Сведем результаты расчетов по всем рассмотренным схемам в таблицу

(рис. 2.2.16). Анализ результатов расчетов показывает, что схема 1 при γ = 0 и

схема 2 при γ = 14.5° предпочтительнее по сравнению со схемой 3. Опоры каж-

92

дой из этих ферм оказывают одинаковое давление на грунт. Однако усилия в стержнях 4, 8 и 12 в ферме, выполненной по схеме 2 меньше усилий в ферме, выполненной по схеме 1.

Схема 1

 

Схема 2

 

Схема 3

 

γRa := 0 deg

 

γXa := 14.5 deg

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

1

12.269

 

1

 

12.201

 

1

14.434

 

2

-24.537

 

2

 

-24.537

 

2

-28.868

 

3

20

 

3

 

20

 

3

20

 

4

12.269

 

4

 

12.201

 

4

14.434

 

5

1.443

 

5

 

1.443

 

5

5.774

 

6

-12.99

 

6

 

-12.99

 

6

-17.321

S(γRa) =

7

-5

S(γXa) =

7

 

-5

 

7

-5

8

10.825

8

 

10.757

S(0) =

8

17.321

 

9

4.33

 

9

 

4.33

 

9

-6.619·10 -15

 

10

-21.651

 

10

 

-21.651

 

10

-25.981

 

11

30

 

11

 

30

 

11

30

 

12

10.825

 

12

 

10.757

 

12

17.321

 

13

-38.971

 

13

 

-38.971

 

13

-34.641

 

14

21.25

 

14

 

0.068

 

14

25

 

15

-8.66

 

15

 

21.25

 

15

-8.66

 

16

33.75

 

16

 

34.86

 

16

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2.16 Сравнение результатов расчетов для рассмотренных схем Таким образом, оптимальной является схема 2, в которой при прочих равных

условиях, значенияусилиявстержняхимеютминимальныезначения.

93

2.3. КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнообразные задачи, связанные с расчетом различных сооружений, с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин и механизмов.

Исследования поведения любой механической системы всегда начинается с выбора физической модели. Переходя от реальной системы к ее физической модели обычно упрощают систему, пренебрегая несущественными для данной задачи факторами. Так, исследуя систему состоящую из груза, подвешенного на нити, пренебрегают размерами груза, массой и податливостью нити, сопротивлением среды, трением в точке подвеса и т.д.; при этом получается известная физическая модель — математический маятник.

Ограниченность физических моделей играет существенную роль при исследовании колебательных явлений в механических системах.

Физические модели, которые описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами принято называть линейными.

Выделение линейных моделей в особый класс вызывается рядом причин:

С помощью линейных моделей исследуется широкий круг явлений, происходящих в различных механических системах;

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами является, с математической точки зрения, элементарной задачей и поэтому инженер–исследователь стремится по возможности описать поведение системы с помощью линейной модели.

94

2.3.1. КРИТЕРИИ И УСЛОВИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Теория вынужденных колебаний имеет много важных приложений в различных областях науки и техники. При проектировании конструкции, подверженной воздействиям возмущающих сил, стараются подобрать соотношения размеров и масс конструкции, чтобы по возможности отодвинуть условия нормального режима работы ее от резонансных условий. При этом используется важное свойство колебательного процесса, позволяющее при больших значениях возмущающей силы сделать амплитуду вынужденных колебаний очень малой за счет подбора соотношений между частотами p и k.

Из анализа уравнения вынужденных колебаний

 

 

 

q = A ent sin(kt +α

0

)+ B

sin(pt +ϕ β

0

)

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

где

B =

B2

+ B2

амплитуда

вынужденных

колебаний,

 

0

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

β0 = arctg (B2 B1 )— сдвиг фазы вынужденных колебаний по сравнению с фа-

зой возмущающей силы, а выражения для коэффициентов B1 ,

B2 , а так же B0 ,

β0 имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1z2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ν z

 

 

 

 

 

 

B = B

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

B = −B

 

 

 

 

 

 

 

 

;

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

z

2

2

 

 

 

2

z

2

 

 

 

2

 

z

2

2

 

 

 

2

z

2

 

 

 

1

 

+

4ν

 

 

 

 

1

 

+ 4ν

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ν z

 

 

 

 

 

B0

= B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

β0 = arctg

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

(

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

1z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1z

 

+ 4ν

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = pk — коэффициент расстройки или относительная частота возмущающей

силы,

ν = n k — относительный коэффициент затухания (демпфирования),

B =

 

F0

— при силовом возмущении ( B — в данном случае: величина равная

m

k2

 

 

статическому отклонению системы под действием постоянной возмущающей силы, модуль которой равен F0 ), B = S0 z2 — при кинематическом возмущении.

Константы A0 и α0 определяются из начальных условий:

95

A

=

(q

B )2

+

 

 

1

 

 

q0

z B

+ν (q

B

) 2

,

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

2

 

1

ν

2

 

1

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(q

B )

1ν 2

 

 

 

 

 

 

α0

= arctg

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q0

z B

+ν (q B

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

1

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно сделать следующие выводы:

oвынужденные колебания при наличии сопротивления с течением времени, величина которого зависит от степени сопротивления, происходят с часто-

той возмущающей силы, посколькуA0 = const ,

 

 

1

при любом

 

 

 

sin(k t +α0 )

 

значении t, а ent — быстро убывающая функция.

oамплитуда вынужденных колебаний от начальных условий и времени не зависит. При резонансе p = k , амплитуда вынужденных колебаний остается

конечной и притом не самой большой из возможных значений для данной системы.

oв вынужденных колебаниях при наличии сопротивления всегда имеет место сдвиг фазы колебаний по сравнению с фазой возмущающей силы. При резонансе, когда p = k , сдвиг фазы принимает значение равное π / 2 . В случае малого сопротивления в области достаточно удаленной от резонанса когда p >> k , значения фазового смещения стремятся к величине π , а при p << k

стремится к нулю.

При исследовании колебательных процессов механических систем используются два основных критерия: коэффициент динамичности и коэффициент передачи силы.

Коэффициент динамичности.

Амплитудой вынужденных колебаний определяются максимальные динамические напряжения, возникающие в упругих системах от воздействия на них гармонических возмущений. При одном и том же значении амплитуды возмущения, возникающие в системе напряжения, могут значительно изме-

96

няться в зависимости от изменения частот p или k , а также коэффициента со-

противления n . Для исследования зависимости амплитуды установившегося режима от частоты p возмущения и коэффициента сопротивления n , построим амплитудно-частотную характеристику системы. Для оценки изменений амплитуды B0 вводится в рассмотрение величина λ , называемая коэффициентом ди-

намичности:

λ =

B

=

 

 

 

 

1

 

 

 

 

— при силовом возмущении;

B

(

z

2

)

2

 

2

z

2

 

 

 

 

 

 

1

 

+ 4ν

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ =

B

=

 

 

 

z2

 

 

 

— при кинематическом возмущении.

B

(

z

2

)

2

 

2

z

2

 

 

 

 

 

 

1

 

+ 4ν

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

λ max

z

ν

Рис. 2.3.1 Коэффициентдинамичности λ(z, ν)

присиловомвозмущении.

При силовом возмущении коэффициент динамичности является отношением амплитуды вынужденных колебаний B0 к величине статического откло-

нения системы под действием постоянной возмущающей силы, модуль которой равен F0 .

97

При кинематическом возмущении коэффициент динамичности является отношением амплитуды вынужденных колебаний B0 к амплитуде кинематиче-

ского возбуждения S0 .

Коэффициент динамичности является функцией двух переменных и, сле-

довательно, его можно отобразить поверхностью f (λ, z, ν )= 0 в пространстве

λ, z, ν (рис. 2.31 — рис. 2.3.4).

 

 

 

 

 

ν = 0.2

ν = 0

λ

 

 

 

 

 

 

max (λ)

 

ν = 0.3

 

 

ν = 2 2

z

Рис. 2.3.2 Сечения поверхности λ(z, ν ) при фиксированных значениях ν для силового возмущения

Анализ данной поверхности показывает (см. рис. 2.3.1 — рис. 2.3.2), что

oМаксимальные значения коэффициента динамичности, а, следовательно, и амплитуд вынужденных колебаний достигаются при следующих значениях z (рис. 2.3.3, рис. 2.3.4):

 

12ν

2

при

ν

 

 

z =

0

 

при

ν >

 

 

 

 

 

 

 

 

12ν

2

при

ν

 

 

z =

 

при

ν >

 

 

 

 

 

 

 

2 2

2 2

2 2

2 2

для силового возмущения,

для кинематического возмущения.

98

λ

max (λ)

z

ν

Рис. 2.3.3 Коэффициентдинамичности λ(z, ν)

прикинематическомвозмущении.

oМаксимальные значения коэффициента динамичности определяются выражением

 

 

1

при

ν

 

 

 

 

 

 

1ν 2

max (λ)= 2

ν

 

 

 

 

1

при

ν >

 

 

2 2

2 2

oВ областях близких к резонансу z 1, реализуемых при p k , максимальное значение коэффициента динамичности определяется величиной λ =12 ν .

oВ областях, достаточно далеких от резонанса z >>1 илиz 0 , реализуемых при p >> k и p << k соответственно, амплитуда почти не отличается от со-

ответствующих амплитуд вынужденных колебаний без сопротивления и ее можно вычислять по формулам

λ =

1

 

 

 

— при силовом возмущении,

(

2

)

2

 

 

 

1z

 

 

 

 

 

 

 

99

λ =

z2

 

 

 

— при кинематическом возмущении.

(

2

)

2

 

 

 

 

1z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

max (λ)

ν = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν = 0.2

 

 

 

 

ν = 0.3

 

ν = 2 2

z

Рис. 2.3.4 Сечения поверхности λ(z, ν ) при фиксированных значениях ν для кинематического возмущения.

Коэффициент передачи силы

Согласно принципу Даламбера, записанного в обобщенных координатах, уравнение движения механической системы с одной степенью свободы имеет вид

QФ +Q +QH = 0

где QФ — обобщенная сила инерции, Q = −c q β q — обобщенная сила ре-

активных сил, QH — обобщенная неконсервативная сила.

Уравнение движения амортизируемого объекта для случая установившегося движения приводится к виду

q = B0 sin(p t +ϕ β0 )

Дифференцирование этого уравнения даёт

q = B0 p cos(p t +ϕ β0 )

Подставляя значения q и q нетрудно найти силу, передаваемую амортизатором на основание:

100