Iсм = ∫S 2πrlI dS = 2πrlI ∫S dS = I .

Итак, Iсм = I.

Пример 10.2

Железный сердечник кольцевого соленоида (тора) имеет форму кольца средней длины l = 100 см с воздушным зазором толщиной l' = 0,20 см. Поперечное сечение тора S = 30 см2. Обмотка имеет N = 800 витков, по которым идёт ток I = 2,0 А. Найти магнитный поток в сердечнике, если при заданных условиях его относительная магнитная проницаемость μ = 1000. Краевыми эффектами пренебречь.

Магнитный поток в сердечнике

= ∫BжdS ,

Sж

где Bж – магнитная индукция в сердечнике, Sж – сечение сердечника. Так как искривлениями линий магнитной индукции на краях зазора можно пренебречь, то магнитный поток в сердечнике и в зазоре одинаков:

∫BжdS = ∫ BвозdS .

Sж Sвоз

Учитывая, что площади сечения зазора и сердечника равны, получим Bж = Bвоз = B. Согласно материальным уравнениям в сердечнике напряжённость магнитного поля Hж = B/μ0μ и в воздухе (в

зазоре) Hвоз = B/μ0.

Распределение макротоков, определяющих напряжённость магнитного поля, симметрично, линии напряжённости – окружности, концентричные самому тору. Следовательно, можно рассчитать напряжённость магнитного поля по закону полного тока

∫Hdl =∑I .

L

Выберем контур интегрирования L совпадающим с линией напряжённости магнитного поля по средней линии тора. Тогда всюду на ней H коллинеарен dl и

∫Hdl = ∫ Hжdl + ∫Hвозdl =Hж (l −l′)+Hвозl′.

Сумма токов, сцепленных с указанным контуром L, равна NI. Согласно закону полного тока и материальным уравнениям

Так как тор тонкий*, максимальную индукцию можно считать одинаковой во всех точках поперечного сечения и Φ = BS. Итак,

Φ= lμ−0lμNIS′+ μl′ =2,0 10−4 Вб.

Задачи

10.1.Плоский конденсатор ёмкостью C, заряженный до напряжения U0, разряжается через сопротивление R. Найти магнитную индукцию B внутри конденсатора на расстоянии r от центра обкладок. Пластины конденсатора – круглые диски площадью S.

10.2.Пластины плоского воздушного конденсатора площадью S соединены витком провода. В цепи

создан синусоидальный ток I = Im sin ωt. Найти амплитуду напряжённости электрического поля в конденсаторе и амплитуду магнитной индукции на расстоянии r от центра обкладок.

10.3.Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения.

78

1.Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.

2.Найти плотность тока проводимости и тока смещения. Радиус дисков равен r, расстояние между ними – l, относительная диэлектрическая проницаемость среды – ε, удельное сопротивление – ρ. Начальная разность потенциалов между дисками равна U0.

10.4.Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью σ и относительной диэлектрической проницаемостью ε. Расстояние между обкладками равно d. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряжённость магнитного поля между обкладками на расстоянии r от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжениеU = Um cos ωt.

10.5.Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины. По нему течёт переменный ток

I = Im sin ωt. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния r от оси соленоида. Радиус сечения соленоида равен r0.

10.6.Между полюсами электромагнита создано постоянное во времени неоднородное магнитное поле, обладающее осевой симметрией. Его магнитная индукция зависит от расстояния от оси

известны.

1.Найти распределение напряжённости электрического поля E(r) в пространстве между полюсами электромагнита в некоторый момент времени после отключения тока.

2.Построить графики E(r) для моментов времени t = 0 и t = τ.

3.На каком расстоянии от оси электромагнита достигается наибольшая напряжённость электрического поля?

10.7.На железный сердечник, имеющий форму тонкого тороида средней длины l = 40 см, навита обмотка, состоящая из N = 400 витков. Кривая намагничивания этого сорта железа изображена на рис. 10.1. Найти магнитную индукцию и отн осительную магнитную проницаемость сердечника, если ток в обмотке I1 = 0,40 А; I2 = 1,2 А.

10.8.Железное кольцо (тороид) имеет следующие размеры: средний радиус r = 15 см, площадь сечения кольца S = 2,0 см2. На кольцо навита обмотка из N = 500 витков. При каком токе магнитный поток в кольце Φ = 2,4·10–4 Вб? Кривая намагничивания железа приведена на рис. 10.1.

10.9.Замкнутый железный сердечник кольцевого соленоида имеет длину l = 20 см, поперечное сечение S = 0,50 см2. По обмотке соленоида идёт ток I = 1,1 А, при этом магнитный поток в сердечнике Φ = 7,0·10–5 Вб. Найти число витков в обмотке соленоида. Кривая намагничивания железа изображена на рис. 10.1.

10.10. По длинному цилиндрическому проводу радиуса r0 = 5,0 мм идёт ток I = 40 А. Провод: а) медный (диамагнетик); б) алюминиевый (парамагнетик); в) железный (кривая намагничивания показана на рис. 10.1). Плотность тока считать постоянной по сечению провода.

1. Найти напряжённость магнитного поля H и магнитную индукцию B на расстояниях r1 = 2 мм, r2 = 5 мм и r3 = 8 мм отоси провода.

2. Построить графики зависимостей H(r) и B(r).

10.11. Сердечник соленоида имеет форму тора средней длины l = 100 см с воздушным зазором l' = 0,20 см. Поперечное сечение тора S = 3,0 см2. Обмотка имеет N = 800 витков, по которым идёт ток I = 2,0 А. Сердечник выполнен из железа, кривая намагничивания которого изображена на рис. 10.1. Найти магнитный потокв сердечнике и относительную магнитную проницаемость.

10.12. В тонком замкнутом железном сердечнике длиной l = 0,60 м, снабжённом обмоткой, создаётся магнитное поле с индукцией B = 1,4 Тл. Какой длины воздушный зазор нужно сделать в сердечнике, чтобы при том же токе магнитная и ндукция уменьшилась вдвое? Рассеянием магнитного поля в зазоре пренебречь.

79

10.13.Шар (μ ≈ 1) помещён в однородное магнитное поле и при охлаждении переходит в сверхпроводящее состояние. Нарисовать линии магнитной индукции: а) до охлаждения; б) после охлаждения.

10.14.Длинный массивный сверхпроводящий цилиндр внесён в постоянное однородное магнитное

поле с индукцией B , направленной параллельно оси цилиндра. Найти силу, действующую на единицу площади боковой поверхности цилиндра (давление).

10.15. Над плоской поверхностью сверхпроводника параллельно ей расположен тонкий прямой провод с током I.

1.Найти линейную плотность поверхностного тока в сверхпроводнике на расстоянии r от провода, если он закреплён на высоте h от сверхпроводника.

2.На какой высоте h над поверхностью сверхпроводника будет свободно висеть ("парить") провод, если I = 20 А, а линейная плотность провода ρ= 2·10–3 кг/м.

Ответы

10.3.1. См. пример 10.1.

2. jпр = −jсм = Uρl0 exp −RCt .

0 A 2 (−2t τ)

E = 0 .

τr

2.См. рис. 10.3.

3.Emax =E 3 r0 .

80

Рис. 10.6

10.14.f = 2B 0 .

μ

10.15.1. i = πrIh2 .

2. h= μπρg0I =2 мм.

81