E =E(r), a силовые линии направлены вдоль оси r: E =Er , т. е. имеют составляющую только в

направлении оси r (от оси цилиндра, ρ > 0).

Напряжённость поля такого заряда можно вычислить с помощью теоремы Гаусса. Через точку с координатой r, где находим напряжённость, проведём поверхность интегрирования (замкнутую) в форме цилиндра радиусом r и высотой h << H (H – высота реального цилиндра) с плоскими основаниями, коаксиального (соосного) заряду. Поверхность интегрирования показана на рис. 1.2, на

котором также показаны элементарные площадки dS и векторы внешней нормали dS в разных частях замкнутой поверхности: на плоских основаниях dSI и dSII и на боковой, цилиндрической, части dSбок . Вычисляя поток ∫EdS , представим его в виде суммы интегралов по отдельным частям

Заряд, охваченный поверхностью интегрирования, равен Qохв = ρVз, где Vз – объём, занятый этим зарядом. Для точек внутри объёмного заряда, при r ≤ r0, т. е. для r1, Vз = πr2h, для точек вне заряда (r2)

На рис. 1.3 приведён график Er(r).

Рис. 1.3

Задачи

1.1. Два точечных заряда Q1 и Q2 находятся на расстоянии l = 20 см друг от друга (рис. 1.4). Заряды равны: a) Q1 = Q2 = 6·10–8 Кл; б) Q1 = 6·10–8 Кл, Q2 = –Q1.

8

2.Чему равна напряжённость электрического поля в точке, лежащей на том же расстоянии от стержня: а) против одного из его концов, б) против его середины?

3.Рассмотреть предельный случай при l << a, где l – длина стержня.

1.9. Тонкий* диск радиуса r0 = 20 см равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ = 5·10– 8 Кл/м2.

1. Найти напряжённость электрического поля на оси диска на расстояниях z1 = 0,10 r0 и z2 = 3r0 от его центра.

2. Показать, что электрическое поле, созданное диском, при z << r0 практически однородно, а при z >> r0 переходит в поле точечного заряда.

3. Чему равна относительная ошибка расчётов, если для точек z1 и z2 пользоваться соответственно формулами для напряжённости однородного поля и поля точечного заряда?

4. Построить график зависимости Ez(z).

1.10. Заряд Q = 5·10–9 Кл равномерно распределён по боковой поверхности цилиндра радиусом r0 = 30 см и длиной l = 60 см. Найти напряжённость электрического поля на оси цилиндра в точке, отстоящей от его середины на расстояние z0 = 80 см.

1.11.B однородном электрическом поле напряжённостью E = 700 В/м находятся: а) круглая площадка радиусом r = 3,0 см, расположенная нормально к линиям напряжённости, б) прямоугольная площадка со сторонами a = 3,0 см, b = 2,0 см, расположенная так, что линии напряженности образуют угол α = 30° с её плоскостью. Найти поток вектора напряжённости электрического поля сквозь каждую из указанных поверхностей.

1.12.Большая* плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ = 1,2·10–8 Кл/м2. Найти поток вектора напряжённости электрического поля сквозь поверхности: а) полусферы радиуса r = 30 см, плоскость основания которой составляет угол α = 30° с силовыми линиями поля; б) куба с ребром a = 3,0 см, две грани которого параллельны заряженной плоскости.

1.13.Сфера радиусом r0 = 3,0 см равномерно заряжена зарядом Q = l,0·10–7 Кл.

1.Найти напряжённость электростатического поля в точках, расположенных на расстоянии r1 = 2,0 см и r2 = 10 см от её центра.

2.Построить график Er(r).

1.14. Длинная* нить равномерно заряжена с линейной плотностью

τ = 4·10–7 Кл/м.

1. Найти напряжённость электрического поля в точках, расположенных на расстоянии r1 = 2,0 см и r2 = 10 см от нити.

2. Построить график Er(r).

1.15. Длинный* цилиндр радиусом r0 = 3,0 см равномерно заряжен по поверхности с плотностью

σ = 6·10–9 Кл/м2.

1. Найти напряжённость электростатического поля в точках, расположенных на расстоянии r1 = 2,0 см и r2 = 10 см от оси цилиндра.

2. Построить график Er(r).

1.16. Большая* плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ = 6·10–9 Кл/м2.

1. Найти напряжённость электрического толя в точках, расположенных на расстоянии x1 = 2,0 см и x2 = 10 см от плоскости.

2. Построить график Ex(x), ось x перпендикулярна плоскости.

1.17. Электрическое поле создано двумя большими* параллельными тонкими* пластинами, равномерно заряженными с поверхностными плотностями σ1 и σ2.

1. Найти напряжённость электрического поля в пространстве между пластинами E2 и вне пластин (E1 слева и E3 справа от них), при σ1 = 2,0·10–9 Кл/м2 и различных σ2: а) σ2 = 2σ1; б) σ2 = σ1; в) σ2 = –σ1,

г) σ2 = –2σ1.

2. Построить графики зависимости проекций вектора напряжённости электрического поля Ex от x (ось x направлена перпендикулярно пластинам) для всех случаев.

1.18. Две большие* тонкие* параллельные пластины равномерно заряжены с поверхностными плотностями σ1 = 1,0·10–8 Кл/м2 и σ2 = –3,0·10–8 Кл/м2.

10

1.С какой силой поле действует на единицу площади каждой пластины со стороны другой пластины?

2.Чему равна работа внешних сил, отнесённая к единице площади, необходимая для увеличения

расстояния между пластинами на величину l = 0,3 см?

1.19. Три большие* тонкие* квадратные пластины площадью S = 0,50 м2 каждая, расположены параллельно друг другу на расстоянии d = l,0 мм одна от другой.

1. Рассчитать напряженность поля между пластинами (E2 и E3) и вне их (E1 слева и E4 справа), если на первой пластине равномерно распределён заряд

Q1 = 3,0·10–7 Кл, на второй Q2 = –6,0·10–7 Кл и на третьей Q3 = 9,0·10–7 Кл.

2. Построить график зависимости Ex(x), если ось x нормальна к заряженным пластинам.

1.20. Металлический шар радиусом R1 = 2,0 см окружён металлической оболочкой радиусом

R2 = 4,6 см, концентричной с шаром. На шаре находится заряд Q1 = 2,0·10–8 Кл, на оболочке – заряд

Q2 = –4,0·10–8 Кл.

1.Найти напряжённость электрического поля в точках, лежащих на расстояниях r1 = 3,0 см, r2 = 5,0 см от центра шара.

2.Построить график Er(r) – график зависимости проекции вектора напряжённости электрического поля Er от расстояния r.

1.21. В вакууме имеется скопление электронов в виде сферического облака радиуса r0 = 3,0 см. Объёмная плотность заряда ρ = 1,4·10–8 Кл/м3.

1. Найти напряжённость электрического поля в точках, лежащих на расстоянии r1 = 7 см, r2 = 12 см от центра облака.

2. Построить график зависимости проекции вектора напряжённости Er от расстояния r.

1.22. В вакууме образовалось скопление зарядов в форме длинного* цилиндра радиусом r0 = 4,0 см с постоянной объёмной плотностью заряда ρ = –1,4·10–8 Кл/м3.

1. Найти напряжённость электрического поля в точках, лежащих на расстоянии r1 = 2,0 см и r2 = 10 см от оси цилиндра.

2. Построить график Er(r).

1.23. Объёмная плотность заряда внутри электронного облака, имеющего форму длинного цилиндра радиусом r0 = 10 см, ρ = –1,4∙10–6 Кл/м3. Коаксиально электронному облаку расположена

цилиндрическая поверхность той же длины и радиуса r1 = 3,0 см. Плотность заряда на поверхности

σ = 2,7·10–9 Кл/м2.

1.Найти напряжённость электрического поля на расстоянии r3 = 4,0 см от оси электронного облака.

2.Найти величину скачка напряжённости электрического поля на заряженных поверхностях.

3.Построить график зависимости проекции вектора напряжённости электрического поля Er от расстояния r.

1.24. Имеется скопление зарядов в форме большого* плоского слоя толщиной d = 8 см. Объёмная плотность заряда в слое ρ = 1,3·10–6 Кл/м3.

1. Найти напряжённость электрического поля в точках, удалённых от середины слоя на расстояния

x1 = 15 см, x2 = 5 см.

2. Построить график Ex(x) зависимости Ex от координаты x, если ось x перпендикулярна боковым поверхностям слоя.

1.25. По прямой тонкой* нити длиной l0 = 4,0 м равномерно распределён заряд с линейной плотностью τ1 = 4,0·10–7 Кл/м. В одной плоскости с нитью перпендикулярно к ней расположен тонкий* стержень длиной l = 20 см, равномерно заряженный с линейной плотностью τ2 = 1,0·10– 8 Кл/м. Ближайший к нити конец стержня находится от неё на расстоянии x0 = 5 см. Найти силу, с которой поле действует на стержень.

1.26. В одной плоскости с длинной* нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью τ, расположен стержень длиной l под углом α к нити. Расстояние от нити до центра стержня равно r0. Считая стержень заряженным равномерно (заряд Q), найти силу, с которой на него действует поле, и получить предельное выражение для неё при α → 0 и α → π/2.

11