5. Постоянный ток
Электрический ток характеризуется силой электрического тока I, которую можно рассчитать, используя обобщённый закон Ома. Плотность электрического тока j можно найти, используя закон Ома в дифференциальной форме (см. пример 5.1).
Примеры решения задач
Пример5.1
Показания вольтметра, подключённого к клеммам A и B, U = 13 В. Ток на этом участке цепи I = 1,0 А и течёт, как указано на рис. 5.1. Источник ЭДС с E = 3,0 В включён, как указано на схеме. Длина медного проводника AC l = 10 м, удельное сопротивление меди ρ = l,7·10–8 Ом·м. Найти напряжённость электрического поля внутри проводника и плотность тока, считая проводник однородным.
Рис. 5.1
Напряжённость поля внутри проводника можно найти, используя связь междуE и разностью
C
потенциалов φ(A)−φ(C)= ∫E dl , в случае однородного проводника φ(A)−φ(C)=El .
A
По закону Ома для участка AC φ(A) – φ(C) = IR. Согласно обобщённому закону Ома для участка AB IR = φ(A) – φ(B) – E, где φ(A) – φ(B) – разность потенциалов на концах участка – равна показаниям вольтметра: φ(A) – φ(B) = U. Знаки всех членов согласованы с направлением тока на участке; разность потенциалов берется по току. Знак выбирается положительным, если направление по току совпадает с направлением переноса заряда внутри источника (от «–» к «+»). Отсюда
E = |
φ(A)−φ(C) |
= |
U −E |
=1,0 В м. |
l |
l |
Для линейного однородного проводника напряжённость электрического поля во всех его точках одинакова и совпадает по направлению с вектором плотности тока j , направленным по касательной к проводнику:
j = Eρ ,
где ρ – удельное сопротивление проводника. Плотность тока
j =E ρ= |
. |
Задачи
5.1. Два вольтметра с внутренними сопротивлениями R1 = 6 кОм и R2 = 4 кОм соединены последовательно и подключены к сопротивлению R3 = 10 кОм, разность потенциалов между концами которого U = 180 В (рис. 5.2). Каковы показания вольтметров U1 и U2, если: а) ключ K разомкнут; б) ключ K замкнут и контакт A находится в середине сопротивления R3.
47
Рис. 5.2 |
Рис. 5.3 |
5.2. К зажимам потенциометра общим сопротивлением R1 = 600 Ом подаётся постоянная разность потенциалов U = 220 В. Каким будет показание вольтметра U1, обладающего сопротивлением R2 = 1200 Ом, если его присоединить к одному из концов потенциометра и к движку, стоящему посередине потенциометра?
5.3.По двум последовательно соединенным цилиндрическим проводникам сечением S = 0,20 см2 каждый, из которых один – медный, другой – алюминиевый, идет ток I = 10 А. Найти напряжённость
электрического поля внутри проводников. Плотность тока считать постоянной по сечению провода. Удельное сопротивление меди ρ1 = l,7·10–8 Ом·м, алюминия – ρ2 = 2,5·10–8 Ом·м.
5.4.Между концами медного полукольца прямого сечения площадью S = 5 см2 и радиусами
внутренней и внешней цилиндрических поверхностей r1 = 10 см и r2 = 20 см приложена постоянная разность потенциалов U = 5 мВ. Найти сопротивление этого полукольца, общую силу тока в нём,
наибольшее и наименьшее значения плотности тока. Считать, что линии тока – полуокружности, центр которых совпадает с центром полукольца. Удельное сопротивление меди ρ = l,7·10–8 Ом·м.
5.5.На схеме рис. 5.3 сопротивление R2 переменное, все остальные параметры цепи постоянны. Когда амперметр показывает ток I1 = 0,60 А, показание вольтметра, положительная клемма которого подключена к точке C, U1 = 1,1 В; при токе I2 =0,40 А показание вольтметра U2 = 0.
1. Найти ЭДС источника E2.
2. Построить график зависимости U(I), где U = φ(C) – φ(B).
5.6. Два источника ЭДС с E 1 = 2,2 В и E 2 = 2,8 В и с внутренними сопротивлениями R1 = 0,40 Ом, R2 = 0,10 Ом соединены последовательно и замкнуты на сопротивление R.
1.При каком значении внешнего сопротивления R0 вольтметр, подключённый к зажимам первого источника, покажет нуль?
2.Как изменятся показания вольтметра U, если сопротивление будет больше (меньше) найденного значения?
5.7.Два источника ЭДС с E1 = 4,0 В, E2 = 3,0 В соединены параллельно и замкнуты на сопротивление R = 3,0 Ом. Внутренние сопротивления источников ЭДС R1 = R2 = 1,0 Ом.
1. Найти токи I, I1, I2 во всех участках цепи и разность потенциалов на зажимах элементов.
2. Найти мощность первого и второго источников и количество тепла, выделяемого во всей цепи за
1 с.
5.8.Четыре одинаковых источника ЭДС с E = 1,0 В и внутренним сопротивлением R = 0,1 Ом соединены, как указано на рис. 5.4. Найти показание вольтметра, присоединённого к зажимам одного из элементов. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
48
Рис. 5.4 |
Рис. 5.5 |
5.9.Сколько электронов проходит за 1 с через нить электрической лампочки мощностью P = 40 Вт при напряжении U = 125 В? Заряд электрона e = 1,6·10–19 Кл.
5.10.Найти разность потенциалов, появляющуюся на концах металлической ракеты длиной l = 10 м, движущейся с ускорением a = 10g.
5.11.Металлический диск радиусом r = 10 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр и
перпендикулярной его плоскости, делая n = 1200 об/мин. Найти разность потенциалов между краем и центром диска. Удельный заряд электрона e/me = 1,8·1011 Кл/кг.
5.12.Найти средние значения скорости и импульса направленного движения 
u
, 
p
электронов в
медном проводнике при плотности тока j =100 А/см2. Медь одновалентна. Концентрация атомов
n = 8,6·1029 м–3. |
Масса |
электрона |
me = 9,0·10–31 кг. |
|
|
5.13. В опыте Стюарта и Толмена по определению удельного заряда электрона e/me |
катушку с |
|
большим числом витков приводили во вращательное движение, а затем резко тормозили. При торможении через гальванометр, присоединённый к концам витков катушки гибким проводом, проходил заряд, который измерялся гальванометром. Найти, какой заряд пройдёт через
гальванометр |
при торможении катушки, если обмотка катушки радиусом r = 14 см состояла из |
|
N = 600 витков медного провода поперечного сечения S = 0,07 |
мм2; частота вращения катушки |
|
n = 30 об/с; |
сопротивление гальванометра R1 = 130 Ом. |
Удельный заряд электрона |
e/me = 1,8·1011 Кл/кг. Удельное сопротивление меди ρ = 1,7·10–8 Ом·м.
Ответы
|
|
1 |
|
|
1 |
R |
2R |
|
110 В |
|
2 |
|
|
1 |
R |
|
2 |
|
72 В |
R |
|
|
|
|
|
||||
5.1. |
а) |
U =U |
R +1R |
= |
|
+R3 |
,U |
|
=U |
R +2R |
= |
|
; |
R2 |
+R3 |
|
80 В |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
R +R |
R1 |
|
100 В |
|
|
1 |
|
|
R +R |
|
|
||||||||||||
|
б) |
U |
|
|
=U |
|
|
|
1R |
+R |
= |
|
|
|
; U |
|
=U |
|
1R |
+R |
= |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
UR1 |
2 2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 2 |
1 |
3 |
|
|
|
||||
5.2. |
U1 |
= |
R1 |
+42R2 |
=96 В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.3.E = Iρ
S; E1 = 8,5·10–3 В/м; E2 = 1,4·10–2 В/м.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 10 |
|
Ом |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
j |
|
S |
|
(r |
r |
) |
|
j = |
U |
= |
|
. |
|||||||
5.4. |
|
=lnU |
2 |
=1 |
|
|
−5 |
|
, |
; |
||||||||||
R = |
πρ(r2 |
−r1 ) |
= |
|
|
; I |
=U R = |
|
|
|||||||||||
|
|
max |
|
|
|
|
|
9,0 105 А м2 |
|
min |
|
|
|
4,7 105 А м2 |
|
|||||
5.5. |
|
|
πρr1 |
|
|
|
|
πρr2 |
|
|||||||||||
1. E2 =U1 I1 −2 I2 |
=2,2 В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
|
U |
|
2. См. рис. 5.5, U =I |
I1 −1I2 |
−E1 . |
5.6. 1. R0 = R1E2 −1 R2E1 =0,41 Ом.
E
2. U =(E +E ) |
R +RR1 |
+R |
−E ; R > R0, U < 0; R < R0, U > 0. |
||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
5.7. 1.
2.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
|
R1 + 2 |
|
1,0 А |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1,0 А |
|
2 |
1 |
|
|
|
||||||
I = |
E |
+E |
= |
|
|
|
; |
I |
|
= |
E |
−IR |
= |
|
; I |
|
= I |
−I |
= ; U =IR = |
. |
||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = I1E 2= |
|
|
, P = I E =1 |
; Q =(I R +I R)t = |
. |
|
||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
I =E R , U = IR −E = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Pt |
=2 1018 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = eU |
|
|
|
=В |
|
|
|
|
− . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
U = |
eπ n r |
5,3e m10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
U = me al = |
|
|
|
−9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( |
e ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = |
|
=8 10−5 м с; p =me u = − |
|
. |
|
|||||||||||||||||||
ne |
|
|
||||||||||||||||||||||
5.13. Q = (e me )(R1 +2πρrN S)=2,7 |
10−10 Кл. |
|
|
π r nN |
|
50