4. Ёмкость. Энергияэлектростатического поля

Ёмкость конденсатора можно рассчитать, используя соотношение между его зарядом и разностью потенциалов между его обкладками (см. пример 4.1).

Энергия электростатического поля заряженного конденсатора может быть выражена через его ёмкость и заряд или разность потенциалов на обкладках.

Если обкладки конденсатора или диэлектрик в промежутке между ними перемещаются бесконечно медленно под действием приложенных к ним внешних сил, то изменение энергии конденсатора W равно их работе и работе сил стороннего электрического поля в источнике, если он есть (см. пример

4.2):

Энергия электростатического поля в некотором произвольном объёме может быть рассчитана по известным значениям плотности энергии поля (см. пример 4.3).

Примеры решения задач

Пример4.1

Найти ёмкость плоского конденсатора, наполовину заполненного твёрдым диэлектриком, граница которого параллельна пластинам конденсатора. Расстояние между обкладками d = 4,2 см; площадь пластины S = 300 см2; относительная диэлектрическая проницаемость ε = 7. Искажением поля у краёв пренебречь.

Рис. 4.1

Пусть конденсатор имеет на обкладках заряды Q и –Q (рис. 4.1), тогда ёмкость C = Q/U. Вычислим разность потенциалов между обкладками, созданную этими зарядами:

( )

U =(∫1)Edl .

Интегрирование ведется от обкладки 1 (например, с зарядом Q) до обкладки 2. Напряжённость электрического поля E в любой точке на траектории интегрирования 1-2 в пространстве между

( ) D(A)

обкладками равна E A = ε(A)ε0 . Рассматриваемое распределение свободного заряда не обладает

симметрией, достаточной для использования теоремы Гаусса для расчёта. Воспользуемся принципом суперпозиции: D(A)= D1 (A)+D2 (A), где индексы 1, 2 соответствуют номеру обкладки. Электрическое смещение поля, созданного зарядом +Q, равномерно распределено по плоскости, т. е.

Напряжённость электрического поля различна на разных участках: в диэлектрике (0 < x < d/2)

40

Ex = ε0QεS , в воздухе (d/2 < x < d) Ex = εQ0S (в пределах каждого слоя поле однородно). Поэтому разность потенциалов

и ёмкость

C =QU = εd0S ε+ε1 =116 пФ.

Эту же задачу можно решить, используя известную формулу для ёмкости плоского конденсатора. Допустим, что на границе раздела воздух-диэлектрик имеется электрическое поле. При этом конденсатор можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора ёмкостями

C1 = εd0εS2 и C2 = dε0S2

соответственно. Это можно сделать, так как разность потенциалов между обкладками складывается из разностей потенциалов на "обкладках" этих половин. Общая ёмкость вычисляется по формуле

Пример4.2

Найти работу, которую нужно совершить, чтобы раздвинуть пластины плоского воздушного конденсатора с расстояния d1 до расстояния d2, если конденсатор заряжен до разности потенциалов U. Площадь каждой пластины S. Рассмотреть два случая: а) конденсатор перед раздвижением пластин отключают от источника; б) конденсатор всё время подключён к источнику.

При раздвижении пластин внешняя сила направлена против силы взаимодействия пластин (силы притяжения), т. е. совершает положительную работу Aвнеш > 0. Работу внешних сил найдем из уравнения энергетического баланса (4.1):

так как d2 > d1.

Во втором случае источник ЭДС имеется, при изменении ёмкости заряд изменяется (в данном случае уменьшается): Q = Q2 – Q1 = U(C2 – C1). При этом сторонние силы совершают работу по переносу этого заряда Aист = U Q (при условии, что все процессы происходят так медленно, что ток в цепи практически отсутствует). Уравнение энергетического баланса даст

Пример4.3

В вакууме образовалось скопление электронов с постоянной объёмной плотностью заряда, имеющее форму шара радиусом r0. Суммарный заряд электронного облака равен Q. Найти энергию электростатического поля в пространстве, занятом зарядом, и вне его.

Энергия электростатического поля в произвольном объёме V находится по формуле

41