Рис. 7.2
На заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца F Л =Q v B , в
|
|
|
|
данном случае FЛ = QvB, так как |
(v |
B)= |
. Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно |
скорости и, не меняя её величины, изменяет её направление, сообщая частицам нормальное ускорение an = v2/r, так что частицы в однородном магнитном поле (B = const, FЛ = const) будут двигаться по дуге OO1 окружности радиуса r (рис. 7.2) с центром в точке C. По II закону Ньютона
уравнение движения частицы массой m имеет вид ma=FЛ (силой тяжести по сравнению с силой
Лоренца можно пренебречь). В проекциях на нормаль к скорости (т. е. на направление r) имеем man = FЛ или mv2/r = QvB. Отсюда
r = mQBv .
После вылета из области магнитного поля частицы движутся со скоростью v прямолинейно по касательной к окружности в точке вылета O1 и попадают на экран на расстоянии z от первоначального направления пучка (ось x). Из геометрии рисунка, учитывая, что h << r и стороны углов XOO1и OCO1 можно считать взаимно перпендикулярными, имеем z/(S/2 + l) ≈ S/r, откуда
z = |
S (S |
+l) |
= |
QBS (S +l) |
. |
|
r |
|
|
mv |
|
Задачи
7.1.Найти силу, действующую на прямой провод длины l = 10 см, обтекаемой током I = 0,5 А, помещённый в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,020 Тл. Провод образует с линиями индукции угол α = 30°. Построить в полярных координатах график зависимости F(α).
7.2.С какой силой взаимодействуют десятиметровые участки длинных* прямых проводов, расположенных параллельно друг другу на расстоянии x = 0,40 м и обтекаемых токами I1 = I2 = 60 А?
7.3.Длинный* прямой провод расположен строго горизонтально. По нему идёт ток I = 20 А. Параллельно этому проводу под ним на расстоянии a = 4,0 см расположен второй прямой провод,
59
медный. При какой плотности тока нижний провод будет находиться в состоянии равновесия? В пределах медного провода магнитную индукцию считать постоянной.
7.4.В одной плоскости с длинным* прямым проводом с током I1 = 10 А, перпендикулярно к нему расположен тонкий стержень длиной l = 20 см, по которому течёт ток I2 = 2,0 А. Расстояние от прямого тока до ближайшего конца стержня r0 = 10 см.
1. Найти силу F1, действующую на стержень, и точку приложения этой силы.
2. Можно ли найти силу F2, действующую со стороны магнитного поля стержня на прямой проводник с током I1? Будет ли она равна силе F1?
7.5.В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идёт ток I1 = 10 А, расположена прямоугольная рамка, обтекаемая током I2 = 2,0 А (рис. 7.3). Длина рамки a = 6 см, ширина b = 4 см, а расстояние до провода x0 = 1,0 см. Найти силу, с которой магнитное поле действует на каждую сторону.
Рис. 7.3 |
Рис. 7.4 |
7.6.Два длинных* прямых провода, по которым идут равные по величине токи I1 = I2 = 20 А взаимно противоположного направления, расположены параллельно друг другу на расстоянии x0 = 20 см. Между проводами, в одной плоскости с ними (рис. 7.4) находится прямоугольная рамка со
сторонами a = 6 см, b =4 см, обтекаемая током I3 = 2 А. Расстояние x1 = 12 см. Найти результирующую силу, с которой магнитное поле действует на каждую сторону рамки.
7.7.Кольцо радиуса r = 5,0 см из однородной свинцовой проволоки поперечного сечения S = 3,0 мм2 расположено в плоскости, нормальной к линиям индукции однородного магнитного поля. При
пропускании через кольцо тока I1 = 20 А оно н агревается и прочность проволоки на разрыв уменьшается до σ = 2,0·106 Н/м2. При каком значении индукции магнитного поля кольцо разорвётся? Прочность σ определяется отношением модуля силы, действующей перпендикулярно площади поперечного сечения проволоки, к величине этой площади.
7.8.Обмотка плоской квадратной рамки со стороной a = 10 см состоит из N = 100 витков, обтекаемых током I = 2,0 А. Рамка помещена в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,020 Тл, линии индукции которого образуют угол β = 60° с плоскостью рамки.
1. Найти вращающий момент, действующий на рамку.
2. Построить в полярных координатах график зависимости модуля вращающего момента M от угла α
между векторами магнитного момента pm рамки и магнитной индукции B .
7.9. Рамка с током, магнитный момент которой pm = 2,0·10–3 А·м2, помещена в середину соленоида. Радиус соленоида r0 = 8 см, длина соленоида l = 50 см, число витков N = 300. Какой ток идёт в обмотке соленоида, если наибольший вращающий момент, действующий на рамку, M = 2,0·10–6 Н·м? Считать, что r0 >> r, где r – радиус рамки.
60
7.10. Обмотка соленоида состоит из N = 500 витков радиусом r = 2 см каждый, обтекаемых током I = 4,0 А. Ось соленоида расположена горизонтально в плоскости магнитного меридиана. Найти вращающий момент, действующий на соленоид. Магнитная индукция Земли B0 = 5,8·10–5 Тл, угол
наклонения φ = 72°. Плоскость магнитного меридиана – вертикальная плоскость, в которой лежит B0 , угол наклонения – см. задачу 6.4.
7.11.В середине длинного соленоида, плотность обмотки которого n = 2000 витков/м, обтекаемого
током I = 4,0 А, помещена маленькая магнитная стрелка, свободно вращающаяся на вертикальной оси. Максимальный вращающий момент, действующий на стрелку, M = 1,2·10–4 H·м.
1. Найти магнитный момент стрелки.
2. При каком положении относительно оси соленоида стрелка будет находиться в положении устойчивого равновесия; неустойчивого?
7.12.Постоянный магнит с магнитным моментом pm = 0,80 А·м2 расположен в одной горизонтальной плоскости со стрелкой компаса, перпендикулярно к ней на расстоянии r = 40 см. Считая, что r >> l, где
l – длина магнита, найти, на какой угол отклонится стрелка компаса. Горизонтальная составляющая магнитной индукции Земли B1 = 1,8·10–5 Тл.
7.13.Два плоских круглых витка радиусомr = 2,0 см каждый расположены параллельно друг другу на расстоянии a = 40 см. Прямая, соединяющая центры витков, перпендикулярна их плоскостям. По
виткам текут равные токи одного направления: I1 = I2 = 5 А. Найти силу взаимодействия витков, учитывая, что a >> r.
7.14.Электрон, прошедший ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов U = 1000 В, влетает в однородное магнитное поле, магнитная индукция которого B = 0,010 Тл. Линии индукции перпендикулярны вектору скорости электрона. Найти радиус траектории электрона в магнитном поле.
7.15.Альфа-частица (α, He++) и электрон с энергией W = 500 эВ влетают в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны скорости движения частицы. Магнитная индукция B = 0,010 Тл. Найти: а) силу, с которой магнитное поле действует на каждую из частиц; б) радиус
окружности, описываемой каждой частицей;в) период обращения. Масса α-частицы mα = 6,7·10–27 кг,
заряд Qα = 2e; me = 9,1·10–31 кг, e = 1,6·10–19 Кл.
7.16. Протон и электрон, имеющие одинаковую скорость (по модулю и направлению), попадают в однородное магнитное поле. Направление вектора скорости перпендикулярно магнитной индукции
B .
1.Каково отношение радиуса кривизны траектории протона к радиусу кривизны траектории электрона?
2.Каким будет это отношение, если частицы пройдут одинаковые ускоряющие поля? Соотношение масс mp = 1836me.
7.17.Однородные электрическое и магнитное поля направлены взаимно перпендикулярно. Напряжённость электрического поля E = 30 В/см. Магнитная индукция B = 0,010 Тл. Каковы должны быть направление и модуль вектора электрона, попавшего в эти поля, чтобы его движение оставалось прямолинейным и равномерным?
7.18.Узкий параллельный пучок ионов водорода H+ (протонов), скорость которых v = 1,0·106 м/с,
пролетает через однородное магнитное поле с индукцией B = 0,010 Тл (v B ), сосредоточенное в узкой области протяженностью S = 5 см в направлении движения частиц, за которой на расстоянии l = 20 см расположен флуоресцирующий экран (рис. 7.2). Найти: а) в какую точку экрана попадут ионы; б) какой след оставят ионы на экране, если начальные скорости будут лежать в интервале от
v1 = 1,0·106 м/с |
до |
v2 = 1,5·106 м/с. |
Масса |
иона |
водорода |
mp = 1,7·10–27 кг. |
|
|
|
|
|
61
7.19. В задаче 7.18 к магнитному полю добавить однородное электрическое поле в той же области того же направления (E ↑↑B ) с напряженностью E = 800 В/см.
1.Ответить на те же вопросы.
2.Что изменится: а) при изменении направления E на противоположное; б) при изменении
направления B на противоположное; в) при замене частиц в пучке на ионы гелия He ++ (mα = 6,7·10–
27 кг).
7.20.Электрон, имеющий скорость v = 1,0·106 м/с, влетает в однородное магнитное поле, линии индукции которого направлены под углом α =30° к направлению движения электрона.
1. Найти радиус винтовой линии, по которой движется электрон в магнитном поле, если индукция поля B = 0,010 Тл.
2. Найти шаг винта – расстояние между соседними витками винтовой линии, измеренное вдоль её оси.
7.21.В однородное магнитное поле с индукцией B влетает электрон, скорость v которого направлена перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Найти индукцию, модуль и
направление магнитного момента pm эквивалентного кругового тока? Что изменится, если влетевшая частица – положительно заряженный ион?
7.22.Сначала α-частица (He++) движется свободно со скоростью v = 3,5·106 м/с. В некоторый момент времени в окрестности частицы создается перпендикулярное её скорости однородное магнитное поле с индукцией B = 1,0 Тл. Найти: а) радиус траектории частицы; б) модуль и направление
магнитного момента создаваемого ей эквивалентного тока; в) отношение магнитного момента к её механическому моменту импульса. Масса α-частицы mα = 6,7·10–27 кг.
7.23.Винтовая линия, по которой движется электрон в однородном магнитном поле, имеет диаметр d = 80 мм и шаг l = 200 мм (см. задачу 7.20). Магнитная индукция B = 5·10–3 Тл. Найти скорость электрона.
7.24.Из диафрагмы вылетает слегка расходящийся пучок электронов. Горизонтальные составляющие скоростей электронов в пучке практически одинаковы, vx = 1,0·105 м/с. За диафрагмой электроны попадают в однородное магнитное поле, линии индукции которого горизонтальны (рис. 7.5). На расстоянии l = 10 см от диафрагмы расположен флуоресцирующий экран. Найти, при каком минимальном значении магнитной индукции пучок электронов будет сфокусирован, т. е. на экране получится чёткое изображение диафрагмы.
Рис. 7.5
7.25. Для определения постоянной Холла германиевый образец прямоугольного сечения со сторонами a и b был помещён в однородное магнитное поле B = 0,25 Тл, линии индукции которого направлены перпендикулярно длине образца и ребру d его сечения. При пропускании вдоль образца тока I = 1,0 мА между боковыми гранями можно было измерить разность потенциалов U = 0,025 В. Найти по данным опыта концентрацию свободных электронов и постоянную Холла, если a = 0,20 мм.
Ответы
62
7.1. B = Bl α = − (рис. 7.6).
7.2. |
F = |
|
0πx =1,8 10−2 Н. |
|
|
|
|
|
|
μ I l |
|
|
|
|
|
7.3. |
j = |
2πρga (μ0I)= |
4,4 10 |
. |
|
||
|
r =l |
( +lnl |
r1)= |
Н |
|
||
|
1 |
2 |
0 |
−6 |
|
|
|
|
F1 = |
|
μ |
( +l r0 )= |
|
|
|
7.4. 1. |
|
π0 I1I2 |
|
; |
|||
|
F1 F2 . |
|
от провода. |
||||
2. |
|
|
|
Рис. 7.6 |
|||
7.5.Fa = 2μπ0 I1I2 ln(1 +a
x0 )=3,7 10−6 Н;
|
Fb,1 = μ0I1I2b πx0 = |
|
|
|
|
− |
|
; Fb,2 = μ0I1I2b π(x0 +a)= |
|
− . |
|||||||||||||||||||||||
7.6. |
Fa = |
μ I I |
2 ln |
( |
x1 |
(x |
)( |
|
|
|
) |
=1,4 10−5 Н |
; Fb,1 = |
μ I I |
|
bx |
x )=1,7 10−5 Н; |
||||||||||||||||
|
0 π1 |
|
−x0 |
−a1) |
0 π1 3 |
|
x (x |
−0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
μ2 I I |
|
|
|
|
x |
|
+a |
|
x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 bx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
. |
1 |
0 |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
0 π1 3 |
|
|
x |
|
+a |
|
x |
0−x |
|
−a |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
b |
,2 |
|
|
( |
1 |
)( |
1 |
) |
|
4,4 10 |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.7.B ≥ σSIr =6 Тл.
7.8. |
1. |
M = NBIa |
β = |
− |
|
. |
|
7.9. |
2. |
График M(α) как на рис. 7.6. |
|||||
|
I = μ0pmN =1,4 А. |
|
− |
|
|||
|
|
|
Ml |
|
|
|
|
7.10. |
M =πNB0Ir |
φ= |
|
|
. |
||
7.11.1. pm = Mμ0maxIn =1,2 10−2 А м2 .
2. pm ↑↑Bсол .
7.12. |
α = |
|
|
|
|
|
|
|
μ0pm ( πB1r |
|
) = |
. |
|
|
|
||||||||||||
7.13. |
F = |
2 |
μ πI I |
|
|
= |
9,2 |
|
10 |
−10 |
Н |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.14. |
r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1,1 см. |
|
|
|
− |
|
|
− |
|
||||||
|
|
|
B e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Um |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; Fα = |
|
|
|
|
|
; Fe = |
|
|
||||||||
7.15. |
а) |
F =QB |
|
|
W m |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
|
б) r = |
|
|
|
|
|
Wm |
; rα = 32 см; rβ = 7,6 мм; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
QB |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) T = |
|
|
πm |
; Tα = 1,2·10–5 с; Tβ = 3,9·10–9 с. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7.16. 1. |
|
re |
= me |
QB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
=1836 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
rp |
|
|
mp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
re |
= |
|
|
|
=43. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
me |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
rp |
|
|
|
|
mp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
63
7.17.E = B v ; v = EB =3,0 105 м
с.
7.18.а) z = QBSmv S2 +l =1,1 см;
|
б) |
z = |
|
m |
|
|
|
+l |
v − v |
=0,37 см. |
|||||||||||||
|
|
|
QBS |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.19. 1. |
z = mv |
|
|
|
+l |
=1,1 см; |
y = mv2 |
|
+l =8,6 см; |
||||||||||||||
|
|
QBS |
|
S |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
QES |
S |
|
||
|
y = m |
|
|
|
|
+l |
|
v2 − v2 |
=4,3см. |
|
|||||||||||||
|
|
QES |
2S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
а) y2 = –y1; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
б) z2 = –z1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) z = 0,55 см; y = 4,3 см; |
z = 0,18 см; |
y = 2,4 см. |
||||||||||||||||||||
7.20. 1. |
r = |
mv |
sin |
α |
= |
3,1 |
|
10 |
− |
м |
|
|
|
|
|
||||||||
Be |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 . |
м. |
|
|
|
||||||||||
2. |
h= |
Be |
|
cosα = |
3,1 10 4 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
πmv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||
7.21. pm = m2vB ; pm ↓↑B .
7.22.а) r = mBQv =7,3 см;
б) pm = mv |
= |
4,1 |
|
10 |
−14 |
А |
|
2 |
; |
|
pm |
QB |
|
|
|
м |
|
||||
l |
|
2,4 107 |
Кл кг |
|
|
|||||
m |
|
|
||||||||
в) = |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
7.23. v = mee Bd2 
1 + πl2d2 =4,6 107 м
с.
7.24. Bmin = (eπmvx)l =3,5 10−3 Тл.
e
7.25. n = eaUBI =3,1 1020 м−3 ; R = en =2,0 10−2 м3
Кл.
z = m |
2 |
+l |
v1 |
− v2 =0,37 см; |
||
QBS |
S |
|
|
|
|
|
64