- •Общие указания
- •1. Напряжённость электростатического поля в вакууме
- •Примеры решения задач
- •Пример 1.1
- •Задачи
- •Ответы
- •2. Потенциал. Работа сил электростатического поля
- •Примеры решения задач
- •Пример 2.1
- •Задачи
- •Ответы
- •3. Электростатическое поле в веществе
- •Примеры решения задач
- •Пример 3.1
- •Задачи
- •Ответы
- •Примеры решения задач
- •Пример 4.1
- •Задачи
- •Ответы
- •5. Постоянный ток
- •Примеры решения задач
- •Пример 5.1
- •Задачи
- •Ответы
- •Примеры решения задач
- •Задачи
- •Ответы
- •Примеры решения задач
- •Пример 7.1
- •Задачи
- •Ответы
- •8. Работа сил Ампера
- •Примеры решения задач
- •Пример 8.1
- •Задачи
- •Ответы
- •9. Явление электромагнитной индукции
- •Примеры решения задач
- •Пример 9.2
- •Задачи
- •Ответы
- •10. Уравнения Максвелла. Магнитное поле в веществе
- •Примеры решения задач
- •Пример 10.1
- •Пример 10.2
- •Задачи
- •Ответы
2. Потенциал. Работа сил электростатического поля
Потенциал, создаваемый точечным зарядом Q в точке A, находящейся на расстоянии r от этого заряда, равен ϕ(A)= 4πεQ0r , если положить потенциал на бесконечности равным нулю: φ(∞) = 0.
Потенциал, создаваемый в точке A произвольным зарядом, можно найти на основании принципа суперпозиции (см. пример 2.1).
Зная распределение потенциала φ(x, y, z), можно найти составляющие вектора напряжённости электростатического поля, пользуясь дифференциальной связью потенциала и напряжённости (см. пример 2.2).
Потенциал и разность потенциалов можно рассчитать, зная напряжённость электростатического поля, так как они взаимосвязаны.
Примеры решения задач
Пример2.1
По тонкому* стержню длиной l = 20 см равномерно распределён заряд Q = l,0 мкКл. Найти потенциал в точке A, лежащей на продолжении стержня на расстоянии x0 = 10 см от его ближайшего конца (рис. 2.1). Пользуясь дифференциальной связью напряжённости и потенциала, найти напряжённость электрического поля в точке A.
Рис. 2.1
Наиболее рационально в данном случае найти потенциал φ(A), исходя из принципа суперпозиции потенциала: φ(A)=по∫ dφ(A). Введем ось x, как на рис. 2.1. Мысленно разделим стержень на столь
Q
малые участки dx, что сосредоточенный на участке dx заряд dQ можно считать точечным. Поскольку заряд распределен по стержню равномерно, то Q/l = dQ/dx, откуда dQ = Ql dx . В точке A этот заряд dQ
создаёт потенциал dφ |
|
A |
|
= |
dQ |
|
[считаем, что φ(∞) = 0], здесь r – расстояние от участка dx до точки |
||||||
( |
) |
4πε0r |
|||||||||||
A, r = l + x0 – x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Потенциал, создаваемый всеми зарядами стержня, найдём интегрированием: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
φ(A)= ∫ |
dφ(A)= ∫ |
dQ |
= ∫l |
Qdx |
. |
||
|
|
|
|
|
|
4πε0r |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
поQ |
поQ |
0 |
4πε0lr |
Учтём, что расстояние r от произвольного заряда dQ до точки A различно, и перейдем к интегрированию по r (dr = –dx, пределы интегрирования по r примут значения при x = 0 r = l + x0, при x = l r = x0) (рис. 2.1). Тогда
x0 |
Q dr |
|
Q |
l + x |
|
|
||
φ(A)= −l+∫x0 |
4πε0l |
r |
= |
4πε0l |
ln |
x0 |
0 |
=30 кВ. |
Конечно, можно найти φ(A) из интегральной связи напряжённости и потенциала φ(A)= ∞∫Exdx, но
A
для этого нужно сначала вычислить Ex(x) (тоже с помощью принципа суперпозиции), этот путь длиннее.
При x >> l заряд стержня можно считать точечным, действительно, в этом случае
φ(A)= |
Q |
ln(1 +l x0 )= |
πεQ x |
0 |
[здесь использовано разложение в ряд Тейлора ln(1 + x) = x при |
|
πε l |
||||||
малых x4]. Зная0 |
φ(x), найдём4 |
0 |
|
19
Ex = − dx |
= −dx |
4πε0lln x −l |
= 4πε0 x(x −l), Ex (A)= 4πε0 x0 (x0 −l). |
||
dφ |
d |
Q |
x |
Q |
Q |
Отметим, что это выражение для Ex справедливо только для точки на продолжении стержня.
Пример2.2
Найти потенциал как функцию расстояния от центра двух концентрических сфер радиусами r1 = 10 см и r2 = 20 см, равномерно заряженных зарядами
Q1 = 1,0·10–6 Кл и Q2 = –3,0·10–6 Кл. Начало отсчёта потенциала принять в центре сфер [φ(0) = 0]. Расчёт потенциала из принципа суперпозиции φ=по∫ dφ представляет здесь математически сложную
Q
задачу. Высокая симметрия заряда позволяет легко рассчитать напряжённость электрического поля и воспользоваться связью потенциала и напряжённости в интегральной форме
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
φ(r)=φ(r)−φ(r0 )= ∫r Eldl, φ(r0 )= . |
|||
Применяя теорему Гаусса, найдём |
на участке 0 < r < r1, |
||||||
Er |
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
Er |
= |
|
πε1 r2 |
на участке r1 < r < r2, |
|||
|
|
|
Q +0Q |
|
|
||
E |
|
= |
4 |
|
|
при r > r |
. |
|
41πε0r2 |
||||||
|
r |
|
2 |
|
Полученные зависимости Er(r) для конкретных заданных значений приведены на рис. 2.2. Вычисляя потенциал φ(r), отметим, что соответствующий интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой Er(r) (рис. 2.2).
Математическое выражение для потенциала, как и Er(r), будет иметь для разных областей различный вид. Так,
для области r < r1 |
φ(r)=r∫r |
0dr =0 , |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
Q dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
для r1 < r < r2 |
φ(r)= ∫ |
|
πε1 |
|
|
2 |
+ ∫ |
dr = |
πε1 |
|
|
− |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
rr |
|
0 |
|
|
r |
0r |
Q dr |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
Q +Q |
Q Q |
|||||||||
|
2 |
Q +Q |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для области r ≥ r2 |
φ(r)= ∫ |
|
1πε r |
2 |
dr + ∫ |
πε1 |
|
2 |
+ ∫ |
|
dr = |
|
1 r |
2 |
− r1 |
− r2 |
. |
||||||||||
|
r |
|
πε |
||||||||||||||||||||||||
|
r |
4 |
0 |
2 |
|
|
r |
4 |
0 |
|
|
r |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E4r |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
Н/Кл |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3 |
|
|
|
На рис. 2.3 изображён график φ(r) при заданных значениях r1, r2, Q1, Q2. Потенциал бесконечно удалённых точек положительный, это означает, что при переносе единичного заряда к центру поле совершает положительную работу (действительно, dr < 0, Er < 0, dA < 0).
20