8. Работа сил Ампера

Работ сил Ампера A = IΔΦ. Здесь ΔΦ имеет смысл модуля магнитного потока сквозь поверхность, заметённую проводником с постоянным током I при его перемещении: ΔΦ = |Φзам|. Знак работы определяется по направлению движения проводника (см. пример 8.1). ΔΦ имеет также смысл изменения магнитного потока Φ сквозь поверхность, натянутую на контур с постоянным током, при его перемещении: ΔΦ = Φкон – Φнач.

Примеры решения задач

Пример8.1

В одной плоскости с длинным* прямым проводником, по которому идёт ток I1 = 10 А, находится плоская прямоугольная рамка. Длинные стороны рамки

Вектор dS параллелен B , а так как нас интересует |Φзам|, направим его коллинеарно B . Тогда

BdS = BdS . Модуль dS – это площадь бесконечно малого участка площади S прямоугольника, в пределах которого магнитную индукцию B можно считать постоянной. Эти участки представляют собой прямоугольники бесконечно малой ширины dr и высоты c и показаны на рис. 8.1, dS = cdr. Тогда

где пределы интегрирования соответствуют положению на оси r длинный сторон прямоугольника. Работа

Сила Ампера F , действующая на рассматриваемую сторону, направлена в сторону перемещения рамки (рис. 8.1), следовательно, её работа положительна.

Задачи

8.1.Квадратная рамка со стороной a = 20 см помещена в однородное магнитное поле с магнитной индукцией B = 0,040 Тл. Нормаль к плоскости рамки составляет угол α = 60° с направлением вектора магнитной индукции. Найти магнитный поток, пронизывающий рамку.

8.2.Обмотка соленоида длиной l = 1,0 м и радиусом r = 25 мм содержит n = 11 витков/см, обтекаемых током I = 2,0 А. Считая, что витки плотно прилегают друг к другу, найти потокосцепление соленоида.

8.3. Обмотка тора (кольцевого соленоида) квадратного сечения со стороной a = 4 см состоит из N = 1000 витков, по которым идет ток I = 2,0 А. Внутренний радиус тора r1 = 8 см. Найти магнитный поток внутри тора.

65

8.4.По длинному* медному проводу кругового сечения идет ток I = 10 А. Плотность тока постоянна, относительная магнитная проницаемость меди μ = 1. Найти магнитный поток, приходящийся на единицу длины, в пределах самого провода.

8.5.Ток I = 5 А течёт по внутреннему медному проводу длинного* коаксиального кабеля и

возвращается по его внешней металлической оболочке. Диаметр внутреннего провода d1 = 2 мм, внешней оболочки – d2 = 10 мм. Найти магнитный поток, приходящийся на единицу длины кабеля. Плотность тока во внутреннем проводе постоянна по сечению.

8.6.Прямоугольная рамка со сторонами a = 10 см и b = 5 см лежит в одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идет ток I = 10 А. Длинные стороны рамки параллельны проводу,

ближайшая сторона находится на расстоянии x1 = 5 см от прямого проводника. Рамка, оставаясь в той же плоскости, перемещается параллельно самой себе, удаляясь от прямого провода так, что

кратчайшее расстояние между ними возрастает до x2 = 10 см. Найти изменение магнитного потока, пронизывающего рамку, если ток, обтекающий рамку, по стороне, ближайшей к проводу, направлен: а) так же, как ток I; б) противоположно току I.

8.7.В однородном магнитном поле с индукцией B = 2,0·10–5 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, проложены длинные* параллельные шины. Шины соединены подвижным проводником, длина которого l = 0,5 м равна расстоянию между ними. При токе I = 5 А проводник под действием силы Ампера перемещается на расстояние x = 4,0 см. Найти работу силы Ампера при этом перемещении. Ток в цепи считать постоянным.

8.8.Два параллельных достаточно длинных* провода находятся на расстоянии h1 = 2 см друг от друга. По проводам идут токи I1 = I2 = 2,0 А взаимно противоположного направления. Какую работу на единицу длины проводов совершают силы Ампера при медленном удалении проводов друг от друга до расстояния h2 = 8 см?

8.9.В плоскости, перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля с индукцией B = 3,0·10–5 Тл лежит тонкое* кольцо, радиус которого r = 5 см. По кольцу идёт ток I = 1,5 А.

1. Каково должно быть направление тока в кольце, чтобы работа внешних сил при повороте кольца вокруг его диаметра на 180° была положительной?

2. Какую работу совершат внешние силы при этом повороте?

8.10.В однородном магнитном поле с индукцией B = 2,0·10–5 Тл помещена квадратная рамка со

стороной a = 10 см, обтекаемая током I = 1,0 А. Магнитный момент рамки параллелен B . Какую работу совершают силы Ампера при медленном повороте рамки вокруг одной из её сторон на угол

α = 90°; 180°; 360°?

8.11. В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идёт ток I1 = 10 А, находится плоская прямоугольная рамка со сторонами a = 10 см, b = 7,5 см. Длинные стороны рамки параллельны прямому проводу, расстояние от него до ближайшей длинной стороны рамки x0 = 2,5 см. По рамке идет ток I2 = 1,0 А. В стороне, ближайшей к прямому проводу, ток I2 направлен противоположно току I1. Рассчитать, какую работу совершат силы Ампера при медленном повороте рамки на угол α = 180°: а) вокруг оси, параллельной прямому проводу и проходящей через середину рамки; б) вокруг оси, совпадающей с длинной стороной, ближайшей к прямому проводу.

8.12. В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по которому идёт ток I1 = 10 А, находится прямоугольная рамка со сторонами a = 5 см, b = 10 см. Длинные стороны рамки параллельны прямому проводу и ближайшая отстоит от него на расстояние x1 = 5 см. Рамка обтекается током I2 = 3 А, в прямом проводнике и ближайшей к нему стороне рамки токи направлены одинаково. Какую работу совершают внешние силы при поступательном прямолинейном перемещении рамки в её плоскости в направлении нормали к проводу? Конечное расстояние от прямого провода до ближайшей к нему длинной стороны рамки x2 = 10 см.

8.13. В длинный* соленоид вдоль его оси медленно втягивается маленькая* плоская рамка. Обмотка рамки состоит из N = 10 витков площадью S = 2,0 см2 каждый. Ток в обмотке рамки I1 = 1,0 А. Обмотка

66

соленоида содержит n = 100 витков/см, по которым идёт ток I2 = 5 А. Какую работу совершают силы Ампера при перемещении рамки из середины основания соленоида в середину его оси? Плоскость рамки нормальна к оси соленоида, токи I1 и I2 направлены одинаково.

8.14.Маленькая* квадратная рамка из мягкой проволоки со стороной a = 3,0 см, обтекаемая током

I1 = 0,10 А, медленно втягивается в середину длинного* соленоида. Обмотка соленоида состоит из n = 10 витков/см, ток в соленоиде I = 1,0 А. Перемещение рамки происходит вдоль оси соленоида, её плоскость всё время перпендикулярна оси соленоида. Токи в соленоиде и в рамке направлены одинаково. Найти суммарную работу, совершенную силами Ампера при перемещении рамки из середины основания до середины оси и при деформации рамки, если диаметр соленоида D >> a.

8.15.Два плоских круглых витка радиуса r = 10 см каждый расположены параллельно друг другу на расстоянии a = 10 см, причём прямая, соединяющая центры витков, перпендикулярна плоскостям обоих витков. По виткам протекают токи

которых коллинеарны и по модулю равны соответственно pm1 = 8·10–2 А·м2 и pm2 = 0,12 А·м2, удалены друг от друга на расстояние x1 = 1,0 м. Расстояние между центрами катушек x1 >> l, где l – длина каждой катушки. Найти: а) работу, которую совершат внешние силы, чтобы увеличить расстояние

Ответы

8.3.Φ= 2μ0 NIaln 1+ a =6,5 10−6 Вб.

πr1

8.4.= μ40I =1,0 10−6 Вб м. l π

8.5.= μ40I 1 +2ln d2 =2,1 10−6 Вб м. l π d1

8.6.а) ΔΦ= 2μ0 Ialn x1 (x2 +b)= −5,8 10−8 Вб;

πx2 (x1 +b)

67

8.11.а) A = μ0 I1I2aln 1 + b0 =5,5 10−7 Дж;

πx

68