9. Явление электромагнитной индукции
Если проводник движется в магнитном поле, то разность потенциалов, возникающая между двумя его точками 1 и 2, может быть вычислена как удельная работа силы Лоренца, а также и по закону Фарадея-Максвелла, где рассматривается магнитный поток, заметённый проводником (см. пример
9.1).
Электродвижущая сила индукции, индукционный ток и индукционный заряд в замкнутой цепи могут быть рассчитаны по закону Фарадея-Максвелла (см. пример 9.2).
Если в цепи, находящейся в вакууме или немагнитной среде протекает переменный ток, то в ней возникает ЭДС самоиндукции, зависящая от индуктивности цепи. Индуктивность цепи может быть рассчитана согласно её определению (см. пример 9.3).
Примеры решения задач
Пример9.1
Медный диск радиуса r вращается в однородном магнитном поле. Ось вращения перпендикулярна плоскости диска, проходит через его центр и параллельна магнитной индукции B . Угловая скорость вращения ω и B коллинеарны. Найти разность потенциалов между краем и центром диска при
r = 20 см, ω = 100 рад/с, B = 0,010 Тл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для расчёта φ воспользуемся формулой для разности потенциалов |
|
|
|
|
|
между |
|||||
точками проводника, движущегося в магнитном поле. Мысленно |
|
|
|
|
|
разделим |
|||||
диск на участки в виде секторов с бесконечно малым углом (рис. 9.1). |
|
|
|
|
|
Тогда весь |
|||||
вращающийся диск представляет собой непрерывную совокупность |
|
|
|
|
|
таких |
|||||
участков – вращающихся тонких "проводников". Очевидно, это |
|
|
|
|
|
|
|||||
"проводники", соединённые между собой параллельно, разность |
|
|
|
|
|
потенциалов |
|||||
между каждой точкой по краю диска и его центром, т. е. между |
|
|
|
|
|
концами |
|||||
любого "проводника", одинакова. Для каждого "проводника" |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Рис. 9.1 |
|
|
|||||
|
φ= ∫ vB |
dl , |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= vB ; |
vB |
|
v , B и dl указаны на рис. 9.1. Эти векторы взаимно перпендикулярны, |
vB |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коллинеарен dl , vB dl = vBdl ; при вращении v = ωl, где l – расстояние от оси. Тогда |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ= ∫r ωlBdl = ωBr , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
изменяется от 0 до r; |
|
|
|
|
|
|
|
где при интегрировании по dl вдоль проводника l |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
φ |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти, где потенциал выше, рассмотрим действие магнитного поля на электроны проводимости. Сила Лоренца направлена вдоль радиуса к центру, где создаётся избыток положительных зарядов, т. е. в центре потенциал ниже.
|Δφ| можно вычислить также с помощью закона Фарадея-Максвелла, учитывая, что поток сквозь заметённую "проводником" поверхность есть поток однородного магнитного поля сквозь сектор,
площадь которого S = ωtr2 . Тогда
|
|
|
d |
|
d |
Br ωt |
|
Bωr |
|
||
|
φ |
= |
|
= |
|
|
2 |
|
= |
2 |
. |
|
|
|
|||||||||
Пример9.2 |
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|||
В одной плоскости с длинным* прямым проводом, по |
которому |
идёт ток I, находится прямоугольная рамка со сторонами a и b. |
Рамка |
движется поступательно и прямолинейно со скоростью в |
|
направлении, перпендикулярном прямому проводу, |
|
69
Рис. 9.2
расположенному параллельно её другой стороне. Найти ЭДС, индуцируемую в рамке, в тот момент, когда ближайшая сторона рамки, параллельная проводнику, находится от него на расстоянии x0
(рис. 9.2).
Применим закон Фарадея-Максвелла Ei =−ddt , где Φ(t) – магнитный поток сквозь поверхность,
натянутую на рамку, в любой момент времени. В данном случае магнитный поток зависит от времени, так как зависит от времени положение рамки в неоднородном поле. Воспользовавшись результатом расчёта магнитного потока в примере 8.1, для рассматриваемого случая запишем
откуда |
|
Φ |
|
|
2 |
|
ln |
1 |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
(t ) |
= |
|
μπ0 |
Ia |
|
|
+ |
|
b |
, |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
μ Iab |
|
|
|
|
|
|
||
В тот момент, когда vt = x0, |
|
|
Ei = |
πt(0b+ vt) |
. |
i |
i |
|
|||||||
|
i = μ0Iabv/[2πx0(b |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
/r > 0 |
|||||
|
E |
|
|
|
|
+ x )]. Направление индукционного тока I |
= E |
||||||||
согласовано с dS , т. е. по часовой стрелке.
Пример9.3
В цепь, состоящую из источника постоянной ЭДС E, длинной* катушки сечением S, длиной l, с
числом витков N и сопротивлением R1, быстро подключают |
|
добавочное |
сопротивление R2, размыкая ключ K (рис. 9.3). Найти закон |
|
изменения |
тока со временем. |
|
|
В электрической цепи до размыкания ключа K идёт ток |
|
I0 = E/R1, так |
как сопротивление R2 закорочено. При размыкании K ток в |
|
цепи пойдёт |
через оба сопротивления R1 и R2, так как катушка обладает |
|
dI |
|
|
|
индуктивностью L, в ней возникает ЭДС самоиндукции |
Рис. 9.3 |
Eс = −L dt . |
Закон Ома для цепи запишется так: |
|
|
I (R1 +R2 )=E −L dtdI .
Для нахождения силы тока в цепи разделим переменные в этом уравнении: L dtdI =E −I (R1 +R2 ),
dt |
|
dI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. Поскольку E, R1, R2, L – постоянные величины, то после интегрирования по t и I, |
|||||||||||||||||||
L |
E −I (R1 +R2 ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
1 |
2 |
|
|
|
|
L |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
R +R t |
||
получим выражение |
|
E −I (R |
+R |
) = − |
(R1 |
+R2 )t |
+ |
|
C , где ln C – произвольная постоянная |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
exp |
L |
|
|
интегрирования. Потенцируя последнее выражение, получим E −I (R |
+R )=C |
− |
( |
1 2 ) |
. |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
Величину C найдём из начального условия: до размыкания ключа K (t = 0) ток в цепи был |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R +R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I(0) = I0 = E/R1, откуда |
C =E − |
1R |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
После преобразований получим1 , что1в момент |
времени t ток в цепи равен |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
1 exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
R |
|
|
|
R +R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
R +R |
|
+ R2 |
|
− |
1 L 2 |
t |
. |
|
|
|
|
|
|||
Рассчитаем теперь необходимую для ответа индуктивность длинной* катушки. Когда в ней протекает ток I, то магнитная индукция внутри неё примерно одинакова во всех точках оси и по сечению: B = μ0IN/l, магнитный поток однородного поля сквозь катушку (потокосцепление)
Ψ = BSN = μ0IN2S/l, отсюда индуктивность
70