1. Напряжённость электростатического поля в вакууме
Согласно закону Кулона напряжённость электрического поля в точке A на расстоянии r, равна
E(A) = 4 Q0 2 и направлена вдоль линии QA от заряда. Напряжённость поля, созданного в некоторой
πε r
точке произвольным зарядом, может быть рассчитана с помощью принципа суперпозиции (см. пример 1.1) или с помощью теоремы Гаусса (см. пример 1.2).
Примеры решения задач
Пример1.1
По тонкому кольцу радиуса r равномерно распределён заряд Q. Найти напряженность поля в точках на оси кольца (оси z) как функцию расстояния от центра кольца.
При z >> r заряд кольца не точечный. Распределение заряда характеризуется
линейной плотностью τ. Линейная плотность заряда кольца равна τ = 2Qπr .
Напряжённость электрического поля E (z) найдём с помощью принципа
суперпозиции. Разделим кольцо на такие малые участки длиной dl (рис. 1.1), что заряд такого участка dQ можно считать точечным. В точке на оси z он
|
создаёт элементарную напряжённость dE . |
|
|
Векторы dE от всех элементарных зарядов покрывают поверхность конуса с |
|
Рис. 1.1 |
вершиной в точке z (рис. 1.1). Из соображений симметрии видно, что отлична |
|
от .нуля только составляющая E (z) по оси z: E =E z . E z найдём с помощью |
||
|
принципа суперпозиции, суммируя векторы dE z одного направления. Переходя к проекциям,
запишем Ez = ∫ dEz , где dEz = dE cos α, α – угол между осью z и dE (рис. 1.1), dE – модуль |
||
поQ |
dQ |
, где ρ – расстояние от dl до точки z (рис. 1.1). |
напряжённости электрического поля, dE = |
4πε0 ρ2 |
|
Тогда |
|
|
E (z)=по∫Q dE cosα =по∫Q dQ4πε0 ρ2α .
Выполняя интегрирование, учтём, что cos α = z/ρ, ρ2 = r2 + z2 и не зависят от положения заряда dQ. Тогда
E (z)= 4πε0αρ2 по∫Q dQ = 4πε0 (rQz2 +z2 )3 2 .
Отметим, что на больших расстояниях от кольца, при z >> r, выражение для напряжённости поля переходит в формулу для напряжённости электрического поля точечного заряда
|
|
Qz |
|
Q |
E (z)= |
4πε0z3 |
(1 +r2 |
z2 )3 2 |
= 4πε0z2 (r2/z2 << 1). |
Пример1.2
В вакууме имеется скопление зарядов в форме очень длинного цилиндра радиусом r0 = 1,0 см с постоянной объёмной плотностью ρ = 1,0 мкКл/м3. Найти напряжённость электрического поля в точках на расстоянии
r1 = 0,5 см и r2 = 2,0 см от оси цилиндра. Построить график Er(r). Объёмный заряд цилиндра обладает осевой симметрией – распределение заряда не зависит от угла поворота вокруг оси и от координаты вдоль оси, а зависит только от r – расстояния от оси цилиндра (рис. 1.2). Электрическое поле этого заряда обладает такой же симметрией, т. е.
7
Рис. 1.2