10. Уравнения Максвелла. Магнитное поле в веществе
Уравнения Максвелла устанавливают связь между характеристиками E , D , B , H электромагнитного поля. Ниже предложены задачи, в которых рассматривается ток смещения и обусловленное им магнитное поле (см. пример 10.1).
При симметричном распределении макротоков уравнения Максвелла (закон полного тока) позволяют легко рассчитать распределения напряжённости магнитного поля (аналогично тому, как это сделано в примере 6.2). Материальные уравнения системы уравнений Максвелла позволяют найти магнитную индукцию (пример 10.2). При этом следует иметь в виду, что магнитная проницаемость ферромагнетиков и магнитная индукция в них сложным образом зависят от напряжённости магнитного поля. В качестве примера такой зависимости на рис. 10.1 приведена кривая намагничивания B(H) для мягкого железа. У сверхпроводников удельное сопротивление ρ = 0, и при помещении их в магнитное поле (которое разрушает это состояние) магнитное поле внутри отсутствует: B = 0.
B, Тл |
|
|
|
|
1,4 |
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
0,6 |
500 |
|
|
2000 H, А/м |
0 |
1000 |
1500 |
||
|
|
Рис. 10.1 |
|
|
Примеры решения задач
Пример 10.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длинный* цилиндрический конденсатор заряжается от |
|
|
источника |
||||||||
ЭДС, создающего в своей цепи ток I. Пренебрегая краевыми |
эффектами, |
||||||||||
найти ток смещения в диэлектрике, заполняющем |
|
|
|
|
|
||||||
пространство между обкладками конденсатора. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂D |
|
Согласно уравнениям Максвелла плотность тока смещения |
|
jсм = |
|
. |
|||||||
|
∂t |
||||||||||
Ток смещения в диэлектрике равен потоку плотности тока |
|
сквозь |
|||||||||
цилиндрическую поверхность S радиуса r (рис. 10.2): |
|
|
|
|
|
||||||
|
Iсм = ∫S jdS = ∫S |
jrdS = ∫S |
∂D |
dS ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
так как и |
j , и dS направлены вдоль радиуса поверхности S, |
|
как |
|
|
||||||
показано на рис. 10.2. В тот момент времени, когда заряд на |
|
обкладках |
|||||||||
цилиндрического конденсатора равен Q, электрическое |
|
|
смещение |
||||||||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
Рис. 10.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Dr = |
2πrl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Dr |
∂Q ∂t |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t = |
2πrl |
= |
2πrl |
, |
|
|
|
так как от времени зависит только заряд Q, а заряд Q в свою очередь зависит только от времени, так что ∂Q/∂t = dQ/dt. Тогда
77