2.2.2. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость

Метод комплексных амплитуд кроме удобства выполнения дифференцирования и интегрирования порождает новые содержательные понятия: комплексное сопротивление и комплексная проводимость.

Линейная зависимость комплексных амплитуд ив формулах (2.13) – (2.15) является основанием для введения по аналогии с законом Ома понятийкомплексное сопротивление Z и комплексная проводимость как для отдельных идеальных элементов цепей,и, так и для различных их соединений. Правила, определяющие результирующие значения и соединений элементов, подобны правилам для аналогичного соединения резистивных сопротивлений: при последовательном соединении двухполюсников складываются их комплексные сопротивления, при параллельном соединении двухполюсников складываются их комплексные проводимости.

В общем случае комплексное сопротивление и комплексная проводимость содержат вещественную и мнимую части, которые называются активной и реактивной составляющими комплексного сопротивления или комплексной проводимости.

Приведем формулы различного представления и :

;;

; ;

Комплексные сопротивления и проводимости идеальных элементов цепей и некоторых соединений из них приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Комплексные сопротивления и проводимости идеальных элементов цепей и некоторых соединений из них

	Z	Y
	ZR=R	YR=G

2.2.3. Методы составления уравнений состояния цепей

Первый этап решения задачи анализа заключается в переходе от модели цепи, заданной схемой, к математической модели – уравнению или системе уравнений, описывающих процессы в исследуемой цепи.

Электронные устройства представляют, как правило, сложными цепями, содержащими ряд контуров и узлов. Для таких цепей практически никогда не удается записать уравнения для искомых токов ветвей или напряжений в узлах. Поэтому на этапе составления уравнений конкретной цепи вводится в рассмотрение система вспомогательных функций. Для них на основе законов Кирхгофа составляется система уравнений. После решения этих уравнений от вспомогательных функций переходят к искомой величине (искомому напряжению или току).

Ознакомимся с двумя наиболее часто применяемыми методами составления уравнений линейных цепей – методом контурных токов (МКТ) и методом узловых напряжений (МУН).

В методе контурных токов сторонние источники в исследуемой цепи эквивалентно представляются источниками напряжения, а в методе узловых напряжений – источниками тока.

Рассмотрим алгоритмы составления уравнений цепи этими методами на примере схемы линейной электрической цепи, приведенной на рис. 2.7а. Эта схема содержит 6 пассивных элементов в виде комплексных сопротивлений ,,,,,и трех активных элементов – двух источников напряженияии одного источника тока. В рассматриваемой схеме, как показано на рис. 2.7б, имеется 6 узлов и 4 независимых контура. Отметим, что направления обхода контуров выбирается произвольно.

а) б)

Рис. 2.7 Пример электрической цепи с идеальными сторонними источниками:

а) схема электрической цепи;

б) узлы и независимые контуры цепи

Метод контурных токов (МКТ)

1. Используя понятие эквивалентности цепей заменяем источник тока источником напряжения. Этой заменой мы уменьшаем количество контуров, а следовательно, и уменьшаем порядок системы линейных уравнений. При этом схема цепи рис. 2.7 приобретает вид рис. 2.8.

2. Вводим вспомогательные функции – контурные токи, представляющие собой ориентированные токи, протекающие в системе независимых контуров рассматриваемой цепи (система контуров является независимой, когда в ней каждый последующий контур отличается от предыдущих одной новой ветвью).

В нашем случае имеется три независимых контура. Пронумеруем их и произвольно выберем направление контурных токов. Пусть контурные токинаправлены по часовой стрелке, а контурный токнаправлен против часовой стрелки.

Рис. 2.8 Вид схемы цепи рис. 2.7 после эквивалентной замены источника тока источником напряжения

3. На основании второго закона Кирхгофа составляем систему линейных уравнений. Воспользуемся матричной формой записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Поскольку имеется три независимых контура, то и СЛАУ будет третьего порядка. В матричной форме СЛАУ будет иметь такой вид:

. (2.18)

Матрица коэффициентов – квадратная матрица, элементами которой являются комплексные сопротивления. На главной диагоналиматрицы записываются собственные комплексные сопротивления-ого контура, представляющие собой сумму комплексных сопротивлений всех элементов k-ого контура цепи. Элементыматрицы вне главной диагонали () – взаимные комплексные сопротивления элементов ветви, общей для-го и-го контуров. При этом, если направление контурных токов и совпадает (согласовано) в общей ветви, топриписывается знак плюс. Если выбранные направления контурных токов оказываются встречными в общей ветви, топриписывается знак минус.

Квадратная матрица комплексных сопротивлений умножается на матрицу-столбец искомых контурных токов. В правой части матричного уравнения находится матрица-столбецзадающих напряжений источников. Причем, если направление действия источника совпадает с выбранным направлением контурного тока, задающему напряжению приписывается знак плюс, если не совпадает (является встречным), задающее напряжение берут со знаком минус.

Порядок СЛАУ метода контурных токов определяется по правилу: из количества независимых контуров надо вычесть количество источников тока, которые заменяем на источники напряжения (). Матричная модель МКТ описывает электрическое состояние рассматриваемой цепи в- параметрах.

Решение системы контурных уравнений каким-либо способом дает искомые комплексные амплитуды контурных токов. Например, по формулам Крамера решение для комплексной амплитуды узлового напряжения k-го узла имеет вид:

, (2.19)

где – определитель системы уравнений;– алгебраическое дополнение к элементу.

Метод узловых напряжений (узловых потенциалов)

1. Источники напряжения эквивалентно заменяем источниками тока. От комплексных сопротивлений элементов переходим к комплексным проводимостям. После этих замен схема рис. 2.7 принимает удобный для МУН вид (рис. 2.9).

2. В качестве вспомогательных функций, подлежащих определению, выбираем узловые напряжения. Для этого выделяем узлы. Один из них выбираем за отсчетный узел и присваиваем ему номер 0. Остальные узлы пронумеруем (1, 2, 3...). Потенциал отсчетного узла полагаем равным 0. Потенциалы остальных узлов, отсчитываемые от нулевого потенциала, есть искомые узловые напряжения – .

3. На основе первого закона Кирхгофа составляем систему узловых уравнений. В матричной форме СЛАУ будет иметь вид

. (2.20)

Здесь матрица коэффициентов – квадратная матрица. Элементы её главной диагонали– собственные комплексные проводимости-того узла. Они представляют собой сумму комплексных проводимостей пассивных элементов цепи, подключенных-ому узлу. Элемент матрицывне главной диагонали () – взаимная проводимость ветви между-ым и-ым узлами. Взаимная проводимость симметрична и всегда записывается со знаком минус.матрица умножается на матрицу-столбец искомых функций – узловых напряжений. В правой части матричного уравнения записывается матрица-столбецзадающих напряжений источников. Знак задающих токов определяется правилом, если задающий ток втекает в узел, ему приписывается знак «+», если вытекает из узла, берется со знаком «-».

Порядок СЛАУ определяется количеством узлов за исключением одного узла и количества источников напряжения – . Матричная модель МУН описывает электрическое состояние рассматриваемой цепи в- параметрах.

Рис. 2.9 Вид схемы цепи рис. 2.7 после эквивалентной замены источников напряжения источниками тока и комплексных сопротивлений комплексными проводимостями

Решение системы узловых уравнений каким-либо способом дает искомые комплексные амплитуды узловых напряжений. Например, по формулам Крамера решение для комплексной амплитуды узлового напряжения k-го узла имеет вид:

, (2.21)

где – определитель системы уравнений;– алгебраическое дополнение к элементу.

Следует отметить, что МУН эффективен при анализе электрических цепей, имеющих много параллельных соединений. Много параллельных соединений имеют, например, радиоэлектронные цепи. При выборе метода для составления уравнений цепи следует использовать тот, который обеспечивает меньший порядок СЛАУ.