Законы Кирхгофа

Первый закон (закон Кирхгофа для токов): алгебраическая сумма всех токов в каждом узле цепи всегда равна нулю, т.е.

(2.4)

Здесь k – номера ветвей, которые присоединены к данному узлу. При этом токи, направления отсчетов которых ориентированы к узлу и от него, берутся с противоположными знаками (рис. 2.5а).

Рис. 2.5. Системы отсчетов:

а) токов; б) напряжений

Второй закон (закон Кирхгофа для напряжений): алгебраическая сумма всех напряжений ветвей в любом контуре цепи всегда равна нулю, т.е.

. (2.5)

Здесь k – номера ветвей, входящих в контур. При этом напряжения, направления отсчетов которых совпадают с выбранным направлением обхода контура, берутся со знаком плюс, а напряжения, направления отсчетов которых не совпадают с выбранным направлением обхода контура – берутся со знаком минус (рис. 2.5б).

2.2 Методы анализа электрических цепей

Анализ электрической цепи заключается в определении токов и напряжений при заданных параметрах источников энергии.

Для этого на основании законов Кирхгофа составляют уравнения, которые описывают электрическое состояние цепи.

Большой круг электронных устройств представляются линейными цепями, т.е. цепями, токи и напряжения в которых связаны между собой линейными зависимостями. Например, для цепи, приведенной на рис. 2.6, на основании второго закона Кирхгофа, с использованием связи между током и напряжениями на идеальных элементах R, L, C (2.1) – (2.3), получим линейное интегро-дифференциальное уравнение:

. (2.6)

Рис. 2.6. Последовательный колебательный контур

Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции (наложения), то их удобно анализировать при гармоническом входном воздействии, а отклик цепи на сложный вынуждающий входной сигнал удобно представить в виде разложения по гармоническим составляющим – рядом Фурье или преобразованием Фурье.

Анализ линейных цепей при гармоническом воздействии существенно упрощается, если воспользоваться методом комплексных амплитуд.

2.2.1. Основы метода комплексных амплитуд

Гармоническому колебанию какой-либо физической величины

(2.7)

сопоставляется комплексное представление

. (2.8)

Здесь: – сомножитель, описывающий временную зависимость;– мнимая единица;– комплексная величина, называемаякомплексной амплитудой соответствующей физической величины. Модуль комплексной амплитуды определяет амплитуду исходного колебания, а аргумент– начальную фазу.

В теории цепей гармоническим колебаниям напряжения и тока сопоставляются комплексы:

, (2.9)

, (2.15)

где и– комплексные амплитуды напряжения и тока. В конкретных цепяхиявляются искомыми переменными в уравнениях электрического равновесия. Решение этих уравнений в комплексной форме определяет амплитуды и начальные фазы изначально искомых напряжений и токов:,;,. Формально переход от комплексных амплитуд к мгновенным значениям напряжений и токов осуществляется посредством формулы:

. (2.10)

Представленные выше исходные понятия теории электрических цепей в комплексной форме принимают вид, приведенный в таблице 2.2.

Важным свойством метода комплексных амплитуд является то, что операциям дифференцирования и интегрирования соответствуют умножение и деление на . Это приводит к тому, что, например, электрическое состояние цепи, приведенной на рис. 2.6, методом комплексных амплитуд будет представлено не интегро-дифференциальным уравнением (2.6), а линейным алгебраическим уравнением

, (2.6а)

решение которого, с учетом формулы (2.10), легко находится.

Таким образом, применение метода комплексных амплитуд существенно упрощает получение результатов при анализе гармонических колебаний в линейных физических системах. Его положительным качеством также является наглядность представления гармонических процессов посредством векторных диаграмм на комплексной плоскости.

Таблица 2.2

Основные понятия теории электрических цепей в комплексной форме

Напряжение
Ток
Источник напряжения			(2.11)
Источник тока			(2.12)
Резистивность			(2.13)
Емкость			(2.14)
Индуктивность			(2.15)
Первый закон Кирхгофа			(2.16)
Второй закон Кирхгофа			(2.17)