9.3. Основы алгебры логики

Теоретической основой цифровой техники служит алгебра логики (Булева алгебра), разработанная середине 19 века ирландским математиком Д. Булем для решения задач формальной логики. В настоящее время она широко используется при конструировании электронных цифровых устройств и для объяснения их принципа работы. Алгебра логики оперирует только двумя понятиями: “Истина” и “Ложь”. Этим понятиям ставятся в соответствие цифры: логическая единица “1” понятию “Истина”, логический нуль “0” понятию “Ложь”.

В алгебре логики вводятся три операции:

1. логическое сложение (дизъюнкция, операция “ИЛИ”), обозначаемая символом “+”, “”;

2. логическое умножение (конъюнкция, операция “И”), обозначаемая символом “”, “” или “&”;

3. логическое отрицание (инверсия, операция “НЕ”), обозначаемая символом “черточка над аргументом” .

В ней также действуют следующие правила:

и следующие законы:

переместительный

сочетательный

распределительный ,

де Моргана ,

поглощения .

В отличие от обычной алгебры в алгебре логики

Правила алгебры логики справедливы как для констант, так и для переменных. Выполняя логические операции над логическими переменными, получают логические функции. Логическая функция (ЛФ) является основным понятием алгебры логики. Ее аргументы (независимые переменные) и сама функция могут принимать только два значения: 1 и 0. Логическую функцию можно задать словесно, алгебраически, графически или таблицей истинности.

9.4. Логические элементы (лэ)

Электронные схемы, способные выполнять простейшие логические операции называют логическими элементами (ЛЭ). На рис. 9.2 приведены условные обозначения и таблицы истинности ЛЭ: НЕ, ИЛИ, И, И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

Логический элемент НЕ (инвертор) выполняет логическую операцию отрицания над одной переменной. Словесное определение: ЛФ отрицания (инверсии) принимает значение “Истина” в случае если переменная имеет значение “Ложь”. Алгебраически эта ЛФ запишется формулой . Ее таблица истинности приведена на рис. 9.2а. На том же рисунке показано условное графическое обозначение (УГО) на схемах логического элемента НЕ.

Логический элемент ИЛИ выполняет операцию логического сложения. Словесное определение: ЛФ двух и более переменных принимает значение “Истина” в случаях, когда хотя бы одна переменная имеет значение “Истина”. Алгебраическая форма записи: . Таблица истинности и УГО ЛЭ ИЛИ представлены на рис. 9.2б.

Логический элемент И выполняет операцию логического умножения. Словесное определение: ЛФ двух и более переменных принимает значение “Истина” только в случае, когда все переменные имеют значение “Истина”. Алгебраическая форма записи: . Таблица истинности и УГО ЛЭ И представлены на рис. 9.2в.

Логический элемент И-НЕ выполняет операцию инверсии логического умножения. Словесное определение: ЛФ двух и более переменных принимает значение “Истина” в случаях, когда хотя бы одна переменная имеет значение “Ложь”. Алгебраическая форма записи: . Таблица истинности и УГО ЛЭ И-НЕ представлены на рис. 9.2г.

Логический элемент ИЛИ-НЕ выполняет операцию инверсии логического сложения. Словесное определение: ЛФ двух и более переменных принимает значение “Истина” только в случае, когда все переменные имеют значение “Ложь”. Алгебраическая форма записи: . Таблица истинности и УГО ЛЭ ИЛИ-НЕ представлены на рис. 9.2д.

а) б) в) г) д)

Рис. 9.2. Условное графическое обозначение и таблицы истинности логических элементов:

а) логический элемент НЕ; б) логический элемент ИЛИ; в) логический элемент И;

г) логический элемент И-НЕ; д) логический элемент ИЛИ-НЕ