Непрерывность функции комплексного переменного

Пусть точка Z₀ принадлежащая E, является предельной точкой множества Е.

Функция f(Z) называется непрерывной в точке Z₀ принадлежащей E, если .

Таким образом, функция f(Z) называется непрерывной в точке Z₀ принадлежащей E, если для любого , что для любой точкиZ, принадлежащей E (Z ≠ Z₀), удовлетворяющей неравенству , выполняется неравенство.

Т. к. равенство эквивалентно выполнению равенств,, то непрерывность функцииf(Z) в точке Z₀ эквивалентно непрерывности вещественных функций u(x,y) и v(x,y) в соответствующей точке (x₀,y₀). Поэтому на непрерывность функции комплексного переменного распространяются все основные свойства непрерывных функций вещественных переменных. В частности справедливы теоремы.

Теорема.

Если функции f(Z) и q(Z) непрерывны в точке Z₀, принадлежащей E, то функции f(Z)±q(Z) и f(Z)·q(Z) так же непрерывны в точке Z₀, если дополнительно известно, что q(Z₀) ≠ 0, то будет непрерывна и функция в точкеZ₀. В самом деле .

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция W = f(Z), заданная на множестве E и непрерывна в точке Z₀, а функция ε = φ(W), заданная на множестве D, непрерывна в точке W₀=f(Z₀). Пусть значения функции W = f(Z) не выходят за пределы множества D, когда Z пробегает множество E, тогда сложная функция ε = φ[f(Z)], будет также непрерывна в точке Z₀.

Лекция №6 Понятие равномерной непрерывности функции комплексной переменной

Функция W = f(Z) называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого, такое, что для любой пары точекZ₁ и Z₂, принадлежащих E, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство.

Каждая равномерно непрерывная в области E функция f(Z) является непрерывной в любой точке этой области. Однако не всякая непрерывная в области E функция является равномерно непрерывной функцией. Справедлива теорема.

Теорема.

Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве E плоскости (Z) функция f(Z) равномерно непрерывна на этом множестве.

Отметим, что непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функцияf(Z₀) является ограниченной, т. е. существует М > 0, такая, что для любой Z принадлежащей E выполняется неравенство .

Понятие обобщенно непрерывной функции

Будем теперь предполагать, что функция в некоторых точках может обращаться в бесконечность. Пусть, например f(Z₀) = ∞ , где Z₀ предельная точка множества E, на котором задана f(Z₀).

Если , то функцияf(Z) называется обобщенно непрерывной в точке Z₀.

Непрерывные кривые

Понятие непрерывной кривой обобщает понятие траектории движущейся точки.

Пусть на некотором отрезке [α,β] задана непрерывная комплексно-значная функция вещественной переменной Z = Z(t) = x(t)+i·y(t) (t принадлежит [α,β]). Будем истолковывать переменную t как время, а значение Z(t) как точку комплексной плоскости. Тогда с изменением времени t от α до β точка Z(t), перемещаясь в комплексной плоскости (Z) опишет некоторую траекторию. Эта траектория и будет непрерывной кривой.

Если задана непрерывная комплексно-значная функция вещественной переменной t (Z = Z(t)) на некотором отрезке [α,β], то говорят, что эта функция определяет в плоскости (Z) непрерывную кривую.

На кривой (Z = Z(t)) можно выбрать два направления. Одно из них соответствует возрастанию t от α до β, а второе убыванию t от β до α.

Точка Z кривой (Z = Z(t)) (t принадлежит [α,β]) называется кратной точкой, если она соответствует не одному, а нескольким значениям параметра t принадлежащего [α,β], одно из которых (по крайней мере) отличается как от α, так и от β.

Все точки кривой не являющиеся кратными называются простыми точками кривой.

Кривая, состоящая из одних простых точек, называется простой кривой или кривой Жордана.

Кривая называется замкнутой, если начало и конец ее совпадают, т. е. если Z(α) = Z(β).

Будем считать, что две непрерывные функции Z = λ(t) и) определяют одну и ту же непрерывную кривую в плоскости (Z), если существует такая монотонная непрерывная функция , отображающая отрезок [α,β] на [γ,δ], что для любого t принадлежащего [α,β], выполняется равенство λ(t) = μ[φ(t)].

Функция Z = cost , t принадлежит [0,π] определяет непрерывную кривую, совпадающую с отрезком [-1,1].

Рассмотрим теперь кривую Z = cos2t , t принадлежит [0,π], эта кривая геометрически так же совпадает с отрезком [-1,1], однако эта кривая отличается от первой, т. к. она замкнута и состоит из кратных точек, за исключением точки -1, 1. Справедлива теорема Жордана.

Теорема.

Всякая непрерывная замкнутая кривая Жордана делит всю комплексную плоскость на две части. Одна из которых ограничена и называется внутренностью кривой Жордана, а вторая неограниченная и называется внешностью кривой Жордана.

Область G комплексной плоскости (Z) называется односвязной, если для любой замкнутой кривой Жордана , ее внутренность целиком содержится вG.

Область G плоскости (Z) называется обобщенно односвязной, если вместе с любой замкнутой кривой Жордана этой области, целиком принадлежит внутренность или внешность этой кривой.

Внешность круга является обобщенно односвязной областью.

Справедлива теорема об отображениях.

Теорема.

Пусть обобщенно непрерывная функция W = f(Z) взаимнооднозначно отображает область на некоторое множество. Тогда множествоD так же является областью и обратная функция Z = f^-1(W) будет обобщенно непрерывной.

Если дополнительно известно, что f(Z) определена и на границе Г области G и притом так, что оказывается непрерывной на замыкании , тоf(Z) будет отображать границу на границу.